典型习题：(120306)对坐标的曲面积分直接计算法与“对称性”

Original xwmath 考研竞赛数学 2023-04-02

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习题解答

相关小结

“对坐标的曲面积分的直接计算方法与“对称性””题型的求解思路以及相关的知识点：

一、对坐标的曲面积分的直接计算方法步骤

直接对坐标的曲面积分进行计算，必须分成三个曲面积分进行计算，即

对每个曲面积分直接进行计算，必须要求积分曲面为简单的YZ-型，简单的ZX-型和简单的XY-型分别计算。

在积分曲面为简单类型的情况下，则只要直接将积分曲面的二元函数表达式，即z=z(x,y),y=y(z,x),x=x(y,z)直接代入被积函数，就可以得到积分曲面分别在yOz面上的投影区域D_yz，zOx面上的投影区域D_zx和xOy面上的投影区域D_xy上的二重积分，即有

其中正负号的确定由曲面的法向量的方向来确定。对于第一个积分，当曲面的法向量取为向前的时候，即cosα>0的时候，取正，否则向后为负；类似另外两个的正负号确定分别为右正左负，上正下负。

所以具体步骤可以概括为：

第一步：被积函数定义在积分曲面上。考虑将描述积分曲面的变量关系式（方程）代入被积函数变换，化简被积函数。

第二步：在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，讨论积分区域图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”；从而在满足对称性、奇偶性和轮换对称性的条件下，借助“偶零奇倍”和轮换被积表达式变量转换、化简积分。

【注】对称性注意方向也要对称，即折叠曲面除了图形要重合，方向也要重合！

第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分；然后利用上面给出的直接计算公式将简单曲面上对坐标的曲面积分转换为二重积分。

第四步：计算二重积分。

二、用高斯公式计算曲面积分的基本步骤

依据高斯公式对应的定理，有如下使用高斯公式计算对坐标的曲面积分计算步骤：

第一步：明确被积表达式中的P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)函数，dydz前面的是P(x,y,z)，dzdx前面的是Q(x,y,z)，dxdy前面的是R(x,y,z)；如果有负号，记得带上负号。

第二步：明确三个条件：封闭性，方向性和偏导连续性；如果不满足，通过添加辅助面构造条件，使计算的积分满足三个条件。

第三步：计算三个偏导数的和，即

并计算以它为被积函数，由封闭积分曲面（分片光滑的曲面构成的封闭曲面）所围立体区域上的三重积分。

第四步：如果积分正好满足高斯公式的条件，则三重积分即为所求结果。否则，需要考虑积分曲面的方向和计算添加的辅助面上的积分，并借助积分对积分曲面的可加性和积分曲面的方向对积分的计算的影响，计算得到最终需要的积分结果。

【注1】使用高斯公式的目标是提升计算的有效性，如果发现由三个偏导数的和构成的被积函数的三重积分不好计算，甚至根本无法计算，则该过程为无效过程，对于需要计算的曲面计算应该考虑其它方法执行计算，比如尝试使用直接计算法、转换为另一种形式的曲面积分来完成计算。

【注2】一般借助于高斯公式计算对坐标的曲面积分，同样也可以用于计算对面积的曲面积分，另外，也可以通过构造合适的P、Q、R函数，用曲面积分来计算三重积分。

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