第05讲：《空间曲面及其方程(一)》内容小结、课件与典型例题与练习

一、构建图形直角坐标方程的一般步骤

步骤1：根据实际意义，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。

【注1】 当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如三重积分中讨论的柱坐标系、球坐标系等.

【注2】 如果问题本身带有坐标信息，则绘制确定的坐标系，并根据坐标特征绘制草图.

步骤2：在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为.

步骤3：依据问题提供的条件，比如物理意义、几何意义、已有等式等，构建与点相关的等式. 并转化为点的坐标变量的等式；或者通过适当引入参数，将点的坐标变量描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数.

步骤4：化简相关等式，得到仅仅包含任意点M坐标变量的方程等式，也即为所求图形的方程.

【注】 这里考虑的图形为曲面、曲线，方程（图形的数学描述形式）对于曲面一般为一个三元方程，或者三个坐标变量关于两个参数的表达式(参数方程)；对于曲线一般为两个三元方程，或者由一个参变量描述的三个坐标变量表达式(参数方程).

二、空间曲面及其方程相关的问题

1、曲面方程

• 曲面的一般方程

• 曲面的参数方程

2、相关问题

• 已知一曲面作为点的几何轨迹时，求曲面的方程；如球面方程、旋转曲面方程的构建.
• 已知方程，研究它所表示的几何形状；如已知两个变量的方程，其描述图形为柱面.

三、旋转曲面及其方程

1、旋转曲面的定义

一条曲线绕一定直线旋转所得的图形. 转动的曲线为母线，定直线为旋转轴. 母线不唯一.

2、坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得曲面的方程

所得旋转曲面方程可以由坐标面上描述曲线的方程直接改写得到：曲线方程中，旋转轴所在的坐标轴对应的变量不变，另一变量用其余两个变量的正负根号下的平方和替换. 比如：

这样形成的曲面的方程的特征是：方程可以描述为一个变量与另外两个变量的平方和表达式的结构，即具有这样结构的方程也就表示旋转曲面，并且旋转轴为单个变量所对应的坐标轴. 比如

所以它所表述的图形可以看成是由面上的曲线

绕轴旋转一周所形成；或者由面上的曲线

绕轴旋转一周形成.

3、常见旋转曲面

• 球面

• 圆柱面

• 圆锥面

• 旋转椭球面

• 旋转双曲面

• 旋转抛物面

四、球面方程特征

球面方程是包含三个系数相同的平方项和一次项的三元方程，其一般结构和是否为球面的判定方法如下：

右边项大于0，则方程描述了一个球面.

五、球坐标系与柱坐标系

1、球坐标与直角坐标变量之间的关系及球坐标变量取值范围

注意的范围根据 所在象限取反正切函数.

2、柱坐标与直角坐标变量之间的关系及柱变量取值范围

注意的范围根据 所在象限取反正切函数.

【注】 利用以上关系式将直角坐标方程转换为球坐标、柱坐标变量方程.

图形绘制方法参见推文：

参考课件

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