第二次数学危机是如何解决的？05

本系列文章预计会有10个章节，这套文献将系统的讲述物理学本身，今天是第二季第5篇。

自从，贝克莱对牛顿所阐述的“无穷小”提出质疑之后，整个数学的大厦就面临了第二次数学危机，今天我们谈谈数学的第二次危机是如何解决的。

吴军说，一个人的数学水平怎么样，是停留在小学水平还是到了高中水平，不在于是否会做高等数学的练习题，而是在于他用什么眼光看待数和数学中的概念。

如果把无穷小看成一个静态的数，甚至是零，那么微积分题做的再好，对数学的认知还是小学水平。而一个人的如果要掌握无穷小的概念，他的数学思维就必须得到飞跃，才能理解高等数学。

为什么会导致这次数学危机，我觉得就算不是贝克莱对牛顿提出质疑，也会有人最后提出无穷小概念的模糊。

因为从古希腊开始，数学一直都是在常量数学，但微积分是一门变量的数学，这是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

微积分的核心概念是导数，导数的本质即为瞬时变化率，而瞬时变化率是增量的极限。

01 极限概念的第一次提出

尽管牛顿、莱布尼茨在微积分技术方面做出了具有伟大意义的开创性工作，但他们在为这门学科确定严格的基础方面却没有什么贡献，特别是对极限的严格定义方面模糊不清。

直到19世纪初，法国伟大的数学家柯西（1789—1857）揭开了数学严格化运动的序幕，并产生了深远的影响。柯西在法国数学家的地位，就相当于牛顿在英国，高斯在德国。

他成功地表达出了正确的极限概念，提出了一系列关于极限的定理来证明微积分的合理性。极限理论成为微分学真正形而上学的基础。

柯西决定在数的基础上建立微积分逻辑，而不是在几何学的基础上。也就是说柯西完全重数学本身出发重新定义微积分中各种含糊的定义。他很清楚要想微积分像几何学那样几千年屹立不倒，就需要给定义极为准确才行。

柯西在其《分析教程》中给出极限定义时，使这个概念脱离在所有与几何图形或者几何量相关之外。他说：“如果一个变量的连串值无限地趋向一个固定量，使之最后与后者之差可任意地小，那么最后这个固定值就被称为所有其他值的极限。”

柯西认为  当m和n 足够大的时候，   和   之间的差异（即  )小于任意一个正数，那么这个序列的极限就存在。

那么任意小是多少？

柯西说比你给定的任意数都小。当然，这是一种逆向思维。但是后来德国数学家魏尔斯特斯拉依然认为这个定义不准确，因为不够自然，所以继续修改了定义。

02 极限概念的提纯

魏尔斯特拉斯在数学分析领域中的最大贡献，是在柯西、阿贝尔等开创的数学分析严格化潮流中，以ε-δ语言，系统建立了数学分析的严谨基础。

在魏尔斯特拉斯的分析体系中可以看出，无穷小不是一个确定的数，而是反映变元或函数的一种状态；无穷小也不是零，但它的极限是零。

魏尔斯特拉斯的工作基本上完成了分析的算术化，加上实数理论、集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来。这使数学走向了理性，微积分走向了理论，第二次数学危机基本解决。

近代数学分析对付芝诺悖论的方法是纯粹技术上的。现代数学课上，老师会说前提“在每一个瞬间，箭都是静止的”是错误的，因为箭在瞬间时刻的速度能够作为“收敛到零但又始终包含瞬间时刻的一系列嵌套时间段上的平均速度的极限”，这个解答是魏尔斯特拉斯式的，正是他提炼的极限概念使得微积分可以处理与无穷小量以及芝诺式的无穷分割相关的问题。

魏尔斯特拉斯的分析能够真正解释二分悖论，是百分之百算术的，没有无穷小、类比或任何芝诺使之层出不穷的自然语言的模糊性。毫不夸张地说，在魏尔斯特拉斯之后，二分悖论只是一个文字游戏。

他的努力终于使分析从人们久已质疑的完全依靠运动直觉理解和几何概念中解放出来。他把无穷小量这个数学幽灵从数学王国中赶了出去，使无穷小量只是数学哲学史中一个曾激发无数灵感的一个概念。

微积分的精髓就是，增量无限趋近于零，割线无限趋近于切线，曲线无限趋近于直线，从而以直代曲，以线性化的方法解决非线性问题，这就是微积分的精髓所在。

从牛顿、莱布尼茨开始创立的微积分开始，到与现代被认为是使人满意的微积分之间，是由数百名伟大的数学家和名不见经传的数学家们的工作逐渐补充完善的。经过了大约150年，才产生了逻辑上完备的微积分。

总结

这部分故事我们今天就谈到这里了，在此给我的认知就是一件事发展并不是那么容易，当我再一次拿起《高等数学》去研究第一章关于极限的概念时，是一种不一样的感觉。

这个概念，没落的了多少伟大的科学家，从提出数轴的戴维金到康托尔，再到牛顿、莱布尼兹等等，他们不是不聪明，而是受之于时间和空间的局限。

但时间总会让事物的本质慢慢呈现于大众！

最后，节选《吴军*数学通史》一段给大家作为结尾：

在古希腊，主人和奴隶都需要学习，前者是主动学习知识，后者是被动学习技能。在大学里，老师讲无穷大和无穷小时，总是会找一些虚构的例子，一般不会和生活联系在一起，更不会说买得起房。这样一来，数学变得非常高冷。以至于大家不知道为什么学习数学。渐渐地，大家在学习数学时就变成了被动学习，只满足于会做练习题，这样其实就把自己变成了古希腊的奴隶。相反，如果把自己当做主人来学习，学到后来掌握的就不仅是各种数学知识，而是思维方式和解决问题的工具。这样数学学得越多，就会对趋势的认识越深刻、越有感觉。

往期推荐