数学界的隐形巨人：笛卡尔如何用一招改写人类历史 08
本系列文章预计会有20个章节，这套文献将系统讲述数学本身，这里是数学篇第一季第8篇。
解析几何，远远超出了笛卡儿的任何形而上学的推测，它使笛卡儿的名字不朽，它是人类在精密科学的进步史上所曾迈出的最伟大的一步。
——约翰·斯图尔特·穆勒（John Stuart Mill）
副标题：笛卡尔是如何用代数解决复杂的几何问题
大家好，我是科学羊🐏，今天继续讲数学。
今天我们谈一个数学史一个伟大的数学家、哲学家——笛卡尔。
牛顿对笛卡尔的评价是这样的—— 我能有所成就其实就是站在巨人的肩膀上，历史已考证，这个巨人其实就是以笛卡尔为代表的首要人物。
笛卡尔
进入主题，这一讲我们先来看看笛卡尔与数学本身，下一篇再谈笛卡尔的生平。
01
《数学通识讲义》的作者吴军谈到：人类的知识体系是从易到难建立的，但是几何学似乎要比后来出现的代数学来得难，从思维进化角度来看，这可能是人类逻辑推理的能力反而不如套用公式的能力强的原因。
因为几何在某些条件下的困难，先哲们才思考能否使用代数的方法解决几何学问题？
比如，写出相应的直线或者曲线的方程，然后再解方程，因为解方程比作几何推论更简单。
当然，这是一个非常大胆、极具创造性的想法，可以用“伟大”来形容。
我们常想，很多人估计几辈子都想不出这样好的想法，而能想到这种伟大想法的人，也是一位伟大的人，他就是我们本讲的主角法国思想家和数学家笛卡尔。
解析几何因为要用到坐标，因此坐标几何和解析几何是一回事。
吴军的《数学通史》中谈到，在西方，很多时候它被称为笛卡尔几何，这是为了纪念笛卡尔，但是在国内我们可能是为了刻意抹去一些外国的人名，你很少看到这样的说法。
不过这样一来，学生们对解析几何的来龙去脉就缺乏了解了。
特别是我们所谓的平面直角坐标在西方一律被称为笛卡尔坐标，没有“平面直角坐标”这个词。
如果你将来去那里的大学读书，和人家说平面直角坐标，没有人懂。
因此，这也是我借鉴数学史料来写数学科普的原因，因为我们总是觉得很多数学和物理概念自然而然，岂不知这背后都隐藏着巨大的学问，所以最希望就是能让孩子们提前了解。
比如傅里叶变换、高斯几何级数。
实际最好的方法就是把它公式化：无非就是 人名 + 方法 。如 傅里叶（人）的研究的一种变换方式，牛顿的第一个定理等等。
记得我在读中学的时候，确实对代数和几何能结合在一起的学问很感兴趣，比如看到一个公式，我一定要去看看它的几何意义是什么。
因为图，能给人感性的认识，数，有时会是无头苍蝇...(个人观点）
回到解析几何，为什么笛卡尔要设计一种平面坐标，然后将几何图形放到坐标中用代数的方法研究呢？
他的目的当然是为了把几何问题变简单，尤其是那些曲线、圆相关的几何问题。
02
那么为什么笛卡尔会自己想到解析几何呢？
我们当然要从其自身环境出发，从历史的角度来看，好似后人巴贝奇发明差分机是为了解决当时繁琐的计算问题。
而笛卡尔的时代正直开始研究代数和几何的关系了，但是那时人们除了研究圆的规律，没有太多的几何学问题非要使用坐标和代数不可，因此偶然出现一些零星的方法形成不了知识体系。
到了笛卡尔的时代，情况就变了。
开普勒已经提出了行星运动的三定律，这三个定律都是基于椭圆轨道的，而不是当初哥白尼和伽利略基于圆形轨道的。
更难的是，当时科学家和仪器商人们开始利用玻璃透镜制造望远镜，就需要研究光在曲面上的折射和反射问题。
笛卡尔发明解析几何的过程很传奇，他身体一直不好，经常躺在病床上，据说他是看到房顶上绕着弧线飞来飞去的苍蝇，想到了把房顶画上格子，来追踪苍蝇的轨迹。
当然，笛卡尔并非是因为看到苍蝇飞就灵机一动地发明了解析几何，而是在脑子里先有构造了解析几何体系的完整想法，并且很清楚如何将平面几何中的图形用代数的公式来描绘。
我们先来看看直线和方程的关系。
在代数中有二元一次方程，比如AX+BY+C=0，如上图所示。
在平面坐标上，它代表一根直线，这样的一次方程也因此被统称为线性方程。
A=0，它就变成了水平线；
B=0，就变成了垂直线；
如果A=B，直线就和水平、垂直方向都有45度的夹角；
代数和几何结合在一起的好处就是可以相互取长补短，能用代数法就不用几何法，能用几何法就不用代数法。
解析几何最好的点就是可以让很多原本看似抽象的代数问题变得很直观。因为我们可以通过几何法直观看到有无解的问题。
我们举几个中学的例子来看看。
比如有2个方程：
如果两个方程所代表的直线相交，如下图所示。那么就说明有一点既在直线1上，又在直线2上，这个交点所对应的X和Y，也就是方程组的解。
如果两条直线平行，就不可能有交点。这就说明不可能有一个点既在直线1上，也在直线2上，那么方程组就无解。
当然，如果两条直线完全重合，那么就有无数个点既在直线1上，也在直线2上，相应的方程就有无数解。
我们把上述三种直线之间的关系画在下面的坐标中。前后三张图中的情形，分别代表有一个解、无解和有很多解的情况。
所以，解析几何这个工具，我们可以很好地理解方程的本质，更好地学会解方程。
我们再来看看一元二次方程对应于抛物线，我在下图中画了三根抛物线（下图）。
和二次方程不同的是，三次方程对应的曲线总是一头往负无穷大走，另一头趋向正无穷大，是下面这个图的形状。
当曲线从负无穷往正无穷变化时，它一定要经过零这个点。
通过了解几何发展的历史和它大致的内容，我们首先应该进一步深刻地理解为什么说数学是一种工具。
解析几何这种工具在宇宙中是不存在的，完全是笛卡尔等人根据之前的数学理论，按照逻辑凭空构建出来的。
但是它一旦出现，就能很方便地解决过去看似比较难的几何问题，也能解释为什么三次方程一定有实数解这样过去解释不了的问题。
从这里，我们就能体会数学上的“虚”是可以为现实中的“实”服务这个普遍规律。
当然，除了平面直角坐标系以外，后人在其基础上又拓展了空间三维坐标系。
三维直角坐标系和平面直角坐标系在工程上用的极其多，比如机器视觉与工业机器人的交互，你看到工业机器人可以凭空抓取视觉定位的产品，其原理都是复杂的坐标变换，这里面也有很多有趣的知识我们以后再谈！
工业机器人在视觉引导下定位抓取（坐标变换）
好，今天关于解析几何就先介绍到这里，明天我们仔细谈谈笛卡尔的生平。
Masir 2023/11/23
祝幸福~
参考文献：
[1].https://www.dedao.cn/course/article?id=vWbYRP1mxqd2VGddrkJQjM096EBkr8
[2]. 吴军《数学通识讲义》
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