希尔伯特旅馆明明只有100间房，为什么能住200个人，甚至更多？

大家好，我是科学羊🐏，这里是数学专栏第2季第17篇。

庄子曰：“夏虫不可语冰，井蛙不可语海，凡夫不可语道”

意思说，夏天的虫子无法理解冰雪，因为它受限于生命的时长，等不到能看见冰雪的冬天就死了。

其实在庄子看来，人的生命也很短暂，认识也很有限，不能要求不具备相应经验和知识的人去理解高深的道理。

笔者认为对于数学概念的理解如果你不提升自己的认知，就很难理解其中的奥秘。

如果我们只是拿身边的经验去谈论数学和宇宙，只能说是降维打击。

本节我们再谈谈关于无穷的问题，等看完你就明白为什么生活在有限世界的人无法理解无限世界的学问。

我们先看一个故事！

01 希尔伯特旅馆

德国数学家大卫·希尔伯特，这位数学史上的巨星，不仅因其卓越的数学贡献而闻名，还因为他那些充满智慧与幽默的故事而受到喜爱。

他最喜欢的一个故事是关于一个被称为“希尔伯特旅馆”的奇异旅馆，这个故事如此经典，以至于人们提起希尔伯特时，往往会想到这个无穷旅馆。

希尔伯特的名字几乎成了数学术语的代名词。有趣的是，他的名字被附加在如此多的概念上，以至于连他自己有时也会感到困惑。

有一次，他甚至问他的同事：“什么是希尔伯特空间？”这位被誉为“数学界的无冕之王”的天才，围绕他的趣闻逸事总是特别多，有空的时候，你一定要上网搜搜，那些故事足以让你啧啧称奇。

而，我们要讲的希尔伯特旅馆的故事，是关于一个拥有无穷多个客房的旅馆。

一天，希尔伯特本人来到这家闻名遐迩的旅馆，却被告知没有空房间。希尔伯特问：“即便您有无穷多间客房？”

经理回答：“是的，先生，但是今天我们接待了无穷多个客人，每个房间都已满。”这个忙碌的经理刚刚安顿完这些客人，显得有些疲惫不堪。

但希尔伯特却灵机一动，提出了一个看似不可思议的解决方案：“只需一间空房，您可以把第一间房的客人移至第二间房，第二间的客人移至第三间，以此类推。”

经理一开始似乎没太明白，但在希尔伯特的耐心解释和示意图的帮助下，他终于按照希尔伯特的方法行事。

结果，就像数学魔术一般，希尔伯特居然真的在客满的无穷旅馆中获得了一间空房。

当我们听说希尔伯特旅馆的故事时，我们的第一反应可能是：“这不可能！”

这种反应来自于我们对“满员”这个概念的有限世界理解。

在我们的日常经验中，如果每个房间都有人入住，那自然意味着没有空间容纳新的客人。

但是，当涉及到无穷大的概念时，事情就变得不那么直观了。

在数学的世界里，无穷大是一种独特的存在。

我们习惯于认为加一就会得到一个更大的数，但在无穷的世界里，加一并不会改变无穷大的本质。

就像希尔伯特旅馆的例子，无论增加多少新客人，无穷多的房间始终足以容纳他们。

这种情况迫使数学家们重新审视他们对无穷大的理解。

他们发现，无限集合的性质迥异于有限集合。

在有限世界里，我们不能将一个数乘以2而保持不变；

但在无穷的世界中，无穷大乘以2仍然是无穷大。

来自希尔伯特旅馆的最大启示之一是：在无穷的世界里，即使是偶数号的房间数量也和总房间数量相同。

在有限的旅馆里，假设有1万间房，其中只有5000间是偶数房。但在无穷旅馆里，即便我们只考虑偶数房间，它们的数量仍然是无穷的，与总房间数一样多。

这个看似悖论的故事，实际上是对无穷概念的一次生动演绎，它向我们展示了数学中一些最根本和最令人着迷的概念。

希尔伯特旅馆不仅是数学家们的思考实验，更是所有好奇心驱动的思考者们探索无穷奥秘的有趣方式。

02 如何证明三角形中线段的点一样长？

我们继续来看看上次我们提到的神秘三角形的长度问题。

好，请证明，一条长5厘米的线段上的点，和一条长10厘米线段上的点是一样多的。

这个证明也很简单：

在图中，下线段长10cm，上线段长5cm。

我们将它们平行放置，于是将它们两端相连（虚线），就会交会到一个点S处。

接下来，对于10cm长线上的任意一个点X，我们将X和S相连，就和5cm短线有一个交点，我们假设为Y，这就说明长线上的任意点，在短线上都可以找到对应点。

因此，短线上的点应该不少于长线上的点。

这样，在无穷大的世界里，我们可以认为10cm线段上点的数量和它的一个子集，即5cm线段上的点是“相同的”。

当然更准确的说法是基数相同。

“无穷大是不是一个特别特别大的数？”现在有答案了。

它不是一个具体的数，它和万亿等等都不同。

所以，看得出无穷大不是一个静态的数，而是一个一个动态无限增加的趋势。

通过对无穷数的分析，还可以得到一个更难以置信的结论：“一个平面上所有的点的数量与一条线上所有的点的数量是相等的。”

为了证明这个结论，让我们来看一下一条长度为1(单位长度）的线段AB上的点和边长为1为了证明这个结论，让我们来看一下一条长度为1(单位长度）的正方形CDEF上的点。

假设用一个数字，如0.75120386…来表示线段AB上某个点的位置，我们可以将这个小数上的奇分位和偶分位上的数字分别选出来组成两个新的小数，得到了0.710 8…和0.5236…。

在正方形CDEF中测量出这两个数字所代表的水平距离和垂直距离，从而得到一个点，我们称之为原来线段上的点的“对偶点”；

反过来，我们取正方形内一点，假设其以0.4835…和0.9907…表示，如果我们将这两个数字合并，就可以得到该点在线段上相应的“对偶点”0.498 93057…。

显然，两组点在这一过程中建立了一一对应的关系。

线段上的每一个点都在平面上有一个对应点，平面上的每一个点也都在线段上有一个对应点，一个多余的点也没有。

根据康托尔准则，代表一个平面上所有点数的无穷数与代表一条线上所有点数的无穷数是相等的。

大学学习无穷大的时候，不理解为什么无穷大要用专门的数学需要来描述，那时候感觉数学需要描述的过于专业，现在才发现， 还是没有理解无穷大的真正精髓。

因此，有深入浅出的例子帮助理解抽象的知识很有必要。

夏虫不可语冰。

如同开始人类不理解无穷大的概念。

如果人类不用动态的眼光来看问题，只是根据目前的状态来看问题，可能得出与未来完全相反的结论，如同夏虫认为只有热才是生命的全部。

好，今天就先这样～

科学羊🐏  2024/01/20

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军*数学通识》

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