无穷小，究竟有多小？我给你一个数，你必然找不到比它小的数！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第20篇。

我们今天先看一个概念，关于也就是我们高等数学的第一课——极限！

在数学的波澜壮阔的历史长河中，有一个概念虽然看似细微，却引发了一场颠覆性的思想风暴，这就是“无穷小”。

它不仅仅是一个数学概念的讨论，而是触及到了我们如何认识这个世界的根本问题。

而这个紧围“无穷小”的辩论，标志着数学历史上的第二次重大危机。

说到解决这个问题，我们不能只是停留在无穷小的争论层面上。

关键在于认知上的跃升，即深入理解“极限”这一概念。极限是我们大学时期所学的内容，其实就是某些数累计加和的结果。

以一个简单的数学序列为例：

虽然这个序列看似无限增长，但其极限却是1。

在吴军的《数学通史》有这么一个例子：

思考你正在用尺子在纸上画一条1厘米的直线。在这条线的一半，即0.5厘米处做一个标记，在接下来的0.5厘米的一半，也就是0.75厘米处再做一个标记，如此不断重复这个过程。

最终，无论你的标记有多精细，这些累加起来的刻度总长度永远不会超过1厘米，这就是极限的魅力所在。

微积分的自学对许多人来说是一项挑战，尤其是在理解极限的概念时。

这主要是因为人们通常习惯于静态地看待问题，而没有形成一种动态的数学思维。即使是数学巨匠如牛顿和莱布尼茨，在极限的概念上也显得有些含糊其辞。

牛顿将极限视为逐渐缩小的量之间的最终比值，而莱布尼茨则从逻辑的角度出发，认为连续变化的极限是普遍规律的体现。

那么，我们应该如何准确地理解极限呢？

以斐波那契数列为例，其前后两项之比逐渐接近黄金分割比1.618……，这

便是极限的一个具体体现。

来自《数学通识》*吴军

斐波那契数列：对于所有 n > 1 的整数，F(n) = F(n-1) + F(n-2)

这意味着数列是这样的：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

极限的概念是客观存在的，并且其最大特征在于“无限逼近”并最终趋同。

这种对极限的理解源自19世纪法国数学家柯西，而后被魏尔斯特拉斯用数学语言精确描述。

柯西在法国数学史上的地位堪比牛顿和高斯在各自国家的地位，他对微积分的重新定义，使其变得更加严谨和公理化。

柯西和魏尔斯特拉斯之于数学的伟大之处，在于他们不仅仅是对概念进行静态定义，更是通过动态描述来揭示其本质。

那么如何去描述一个动态的概念呢？

两位大师是这样做的：他们首先将极限的概念界定得清晰无误，然后用数学的语言将其精确表达出来。

以一个序列为例：1, 4/3, 6/4, 8/5, 10/6……2N/(N+1)……。当N足够大时，它的值趋近于什么？

正确答案是2，因为它无限逼近2。

这正是柯西所提出的直观定义。但魏尔斯特拉斯认为这还不够精确，他采用了逆向思维来描述这一过程。

例如，如果我们设定一个非常小的误差ε，只要找到一个数字M，当N超过M时，序列和2的差距就小于ε。这样，我们就可以说序列的极限是2。

同样的方法也被用来定义函数的极限，例如sin(x)/x函数在x趋近于0时的极限。

高等数学给的解释是，1/x当x趋近于无穷大的时候，1/x等于0，而sinx是一个有界函数，它无论怎样变化最后乘以0还是0。

通过这种方式，我们不仅对无穷小有了精确的定义，也解决了由贝克莱提出的无穷小悖论，以及之前的所有芝诺悖论。

但这种严格的数学语言也使得数学显得更加高冷，这就需要老师或解释者用更通俗的语言来传达这些复杂的概念。

我们讨论极限的目的不仅仅是为了给出一个比生活中更准确的定义，而是学会用一种动态、不断变化的视角来看待世界。

人类在理解极限、无穷大和无穷小这些概念时，最初也是困惑重重，这是因为我们被有限的世界所限制。在有限的世界里，数字都是具体的，因此容易导致一些数学悖论。

要解决这些悖论，我们需要引入新的概念，扩展原有的数学体系。这不是数学本身的漏洞，而是我们认识上的局限。为了扩展我们的认知，我们需要清楚地界定问题的定义，这也是人类智慧的体现。

从对无穷世界的认识，到对极限的理解，我们看到了芝诺、牛顿、莱布尼茨、柯西和魏尔斯特拉斯等伟人们的贡献。他们不仅提出了问题，还通过定量描述和逆向思维，帮助我们理解了这些复杂的概念。

我们人类认识世界的过程其实是一个缩影。我们通过学习和实践，可以迅速体会到前人数百年的认知进步。

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/01/25

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军*数学通识》

[2]. 图片来自得到*数学通识

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