原来，微积分的起源和用法这样的，简直就是一门哲学！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第22篇。

本篇我们来聊聊神奇的微积分，以及微积分给我们的人生启发！

众所周知，微积分，这门数学的王冠，诞生于两位伟人的智慧碰撞：艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨的手中。

但，你可曾想过，为何牛顿和莱布尼茨会发明微积分？答案藏在他对力学问题的探索中。

说白了，其实都是为了解决一个问题，而诞生的秘密武器！

举个栗子🌰，我们中学就知道速度等于距离除以时间（V=S/t），似乎很简单，对吧？

但是，但是...这只是平均速度，实际在现实中没什么用，可能只有在中学课本中会用的多点...

而现实中需要解决的问题是：如何衡量某一瞬间的速度？

这个问题，对于牛顿时代的学者来说，就像是黑暗中的迷雾。他们或许会尝试用平均速度来近似，但这仅仅是宏观的粗略估计。

然而，在许多场景下，了解瞬间速度是至关重要的，比如警察如何判断车速超标，运动员的起跑速度，小鸟的起飞速度等等，就是基于瞬间速度而非一路上的平均速度。

那么牛顿他们是如何解决这个难题呢？

他采用了一种无限逼近的方法，让我们一起深入他的思路。

想象一下，如果我们把速度定义为一段时间内的位移除以时间，即速度v=ΔS/Δt。我们可以用一个图来形象表示这个关系：

设想一下，在位移随时间变化的曲线上，我们关注某个时间点t0的瞬间速度。

随着时间间隔Δt变得越来越小，这个比值逐渐揭示了t0点附近的速度。

这就是极限的概念，当Δt趋近于零时，这个比值就变成了曲线在t0点的切线斜率。

牛顿将这个切线斜率定义为t0点的瞬间速度。

这样，从平均速度的概念出发，牛顿定义了瞬间速度。

如果我们把这个概念拓展到函数的世界，瞬间速度就等同于某一点切线的斜率。

在这个框架下，牛顿定义了导数这一概念，用来描述一个函数在某一点的变化率。

比如说，如果一个距离函数S(t)描述了位置随时间的变化，那么它的导数v(t)，也就是速度函数，表示位置变化的瞬间速率。这就是我们今天所说的导数。

接下来，让我们聊聊微积分中另一个核心概念：微分。

微分，简单来说，就是当我们在前述速度例子中让Δt趋于零时，ΔS的变化。

对于一般的函数，我们用dx表示自变量的微小变化，dy表示函数的微小变化。

而一个函数中可能有多个变量，比如 y = 3x^2+7z，那么你可以对x进行微分，也可以对z进行微分，而这个目的就是想通过对自变量的微分来洞察数据变化对y的学问。

其实，导数和微分其实描述的是同一个事物，但微分更关注于具体的变化量。

微分的魅力在于，它不仅仅是一种数学工具，而是一个解决实际问题的利器。

我们举个实际的例子，我们如何决定一个储油罐的设计，是增加半径还是高度？

微积分为我们提供了精准的答案。在高度小于半径的一半时，增加高度更有效。

过程如下：

我们可以把体积函数分别对半径和高度各做一次微分，得到下面两个结果：

体积对半径R微分： 

体积对高度h微分：

通过分析就可以得出以下两个结论：

1、由于半径r增加所带来的体积v增量，和圆柱体当前的半径成正比，也和它的高度成正比；

2、由于高度h增加所带来的体积v增量，和圆柱体当前半径r的平方成正比，与高度h无关；

对比一下两个微分函数就能够一眼能看出来，究竟是哪个速率快，但也要视情况而定！

假如R=10，h=10，体积v就随半径r变化快。

如果R=10，h=1，那就是随着高度h变化快。

所以说，在这个储油罐比较“扁平”时，应该增加高度。总的来讲，当高度没有达到半径的1/2时，都应该增加高度。

这就是微分的力量，它让我们能够量化分析不同变量对结果的影响。

而梯度，就是多变量微分的自然延伸。

在一个多变量的函数中，我们可以计算出每个变量的微分，这些微分构成的向量就是梯度。

梯度的物理含义是什么呢？它告诉我们，要想沿着最陡峭的路径快速达到目的，应该选择哪个方向。

这就是微积分给我们的人生智慧！

在我们的圆柱体例子中，当高度小于半径的一半时，我们应该优先增加高度。

这不仅仅是数学问题，更是我们日常生活中常见的决策问题的缩影。我们常常面临在有限资源和条件下如何做出最优选择的挑战。

梯度理论给了我们一个量化的方向，帮助我们在复杂的决策过程中找到最有效的路径。

最后，总结一下，微积分不仅仅是一堆符号和公式，而是一种思维方式。

它让我们能够从宏观趋势中洞察每一步的微观变化，帮助我们在生活中做出更明智的选择。

通过理解导数和微分，我们可以更准确地量化和评估变化，从而在复杂的世界中找到我们的方向。

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/01/30

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军*数学通识》

[2]. 图片来自得到专栏

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