嘘！无穷小，也能比较大小呢？其实多小也能比较！

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏第2季第21篇。

昨天我们聊了关于无穷小和无穷大比较大小的问题，那么两个无穷大或者两个无穷小哪个最大或者哪个最大。

接下来给大家解释一下。

比如，两个函数，f(x)=x和正弦函数g(x)=sin x，

我们知道，当x趋近于零的时候，f（x）和g（x）都趋近于零，那么它们趋近于零的速率相同吗？

我们先来看一眼下表。

图片来自 吴军数学通识讲义

我们将函数图用Python画出来如下：

从表中可以看出，x本身和正弦函数趋近于零的速率是基本一致。

于是，我们可以得到这样一个结论，上述这两个函数它们趋近于零的速率是相同的。

我们再对比一下，正弦函数g(x)=sin (x)和平方根函数h(x)=√x

同样，还是用一张表把它们趋近于零的速率描绘一下：

图片来自 吴军数学通识讲义

你会发现平方根函数h(x)相比正弦函数g(x)趋近于零的速率慢得多。这时候我们其实就比较出两个无穷小谁“更小”了。

这里面我对“更小”两个字打了引号，因为我们这里说的比较大小其实不是具体数字大小的比较，而是趋势快慢的对比。

当一个无穷小量比另一个以更快的速度趋近于零，我们就说第一个比第二个更小。

当x趋近于无穷大时，它们都是无穷大，但是它们变化的速率不同，我也列举几个数字，放到下面这张表中，给大家一些直观的感受。

第三行的平方根函数比上面的线性函数x增加的速率要慢很多，最后差距就会被拉开。

当然还有比平方根函数增长更慢的函数，比如第四行的对数函数。

至于增长更快的，也有很多，像平方函数就比线性函数更快，当然指数函数要快非常多。

其实这个问题在我们现实世界就有一个活生生的案例——计算机算法。

特别是当我们面对庞大的数据规模时，不同算法的计算效率有着天壤之别。

假设我们将问题的规模定义为N，在N逐渐趋向无限大时，算法的计算量会如何变化？这是计算机科学家们最为关心的问题。

举个例子。

假设有一个算法A，它的计算量与N成正比。

这意味着如果N从10000增长到100万，计算量也会随之增长100倍。

而如果算法的计算量与N的平方成正比，那么情况就会复杂得多。在N增长100倍的同时，计算量将会暴增10000倍！

进一步来说，如果有一个算法C，其计算量与N的立方成正比，那么计算量的增长将会是惊人的100万倍。

在极端情况下，如果计算量与N的指数成正比，那问题基本上就是无解的。

相反地，如果算法D的计算量与N的对数成正比，那就太理想了，因为无论N如何增加，计算量几乎不会有太大的变化。

因此，计算机算法的精妙之处，实际上在于在无数种无穷大的可能中，找到一个增长速度相对较慢的无穷大。

一个优秀的计算机专业人士，在考虑算法时，总是从无穷大的角度出发，关注计算量增长的趋势。

而一个普通的从业者，可能只会针对一个具体的问题，一个固定的N值，来考虑计算量。

这就像用高等数学来武装大脑，而不是停留在小学水平的数学理解上。我们上大学的目的，不仅仅是为了掌握知识，更重要的是通过学习改变思维方式。

那么，对于无穷小，区分高阶和低阶有没有意义呢？

答案是肯定的，而且这种区分极其重要。再次以计算机算法为例，我们经常需要计算的误差，在经过一系列迭代之后逐渐减少，趋向于无穷小。

以控制dan飞行的精度为例，我们希望通过微调，逐步接近目标方向。如果能够通过少数几次迭代就接近目标，与需要经历大量迭代的情况相比，差别是显著的。

比如，如果我们采用的控制方法能够按照这样一个序列逐步减少误差：

1，1/2，1/3，1/4，……，1/1000……

虽然这个序列最终会趋向于无穷小，但如果我们要将误差控制在1/1000以下，就需要调整1000次。

相比之下，如果我们能让误差按照这样的序列减少：

1，0.1，0.01，0.001，……

那么仅需四次调整，误差就可以控制在1/1000以下。

想象一下，对于高速飞行的火箭来说，每一秒钟都可能飞行数公里。如果需要调整1000次，那么在调整完成之前，火箭早就偏离了预定轨道。因此，在很多计算机算法中，我们希望以更快的速度接近零。

无穷大和无穷小不仅可以进行比较，还可以进行各种运算。一些运算结果是显而易见的，例如无穷大与无穷大相加或相乘，结果都是无穷大；无穷小之间进行加减乘运算，结果都是无穷小。这些都比较容易理解。

但是，无穷大除以无穷大，或无穷小除以无穷小的结果就要看它们的变化速度了。

以sin x和根号x为例，当x趋近于零时，它们都是无穷小，但是sin x变化得更快，所以sin x/√x的结果是0。

反之，如果根号x在分子位置，sin x在分母位置，那么这个比值就是无穷大。

对于无穷大的除法，情况也是类似的。

此外，无穷大乘以无穷小的结果可能是一个常数，也可能是零，或者无穷大，这取决于它们的阶数。

我们在讨论芝诺悖论时曾提到，无穷多个无穷小相加，结果可以是有限的。这就是因为不断减小的等比数列会形成一个高阶无穷小。

总结一下，无穷大和无穷小虽然不是具体的数值，但它们的比较和运算都非常重要。我们比较的不是具体数值，而是变化的趋势。

通过这种比较，我们可以更深入地理解“比大小”的概念。

这种理解的意义在哪里呢？

让我们来打个比方。假设房价和你的收入都以几何级数增长，最终都趋向于无穷大。但如果房价每年增长3%，而你的收入增长10%，只要你的生命足够长，你最终会买得起房子。

如果你的收入增长20%，这就是一个相对高阶的无穷大，你会更快买得起房子。相反，如果你的收入增长不到3%，相比房价的增长，它就是一个低阶无穷大，你永远买不起房子。

所以当年我爸给我说，你的工资在涨，房价也在涨，等于你靠工资来努力是没用的，所以让我赶紧贷款买。（后来房价跌了...）

好啦，对于无穷的问题我们今天就聊到这里啦，恭喜你，已经掌握高等数学第一课了。

这部分知识在大学考试，考研数学都是必考内容！

下篇开始讲微积分～

总结：

可以看出，在数学中，比较两个无穷大或无穷小的大小通常是通过它们的增长速率或者收敛速率来确定的。

好，今天就先这样啦～

科学羊🐏  2024/01/26

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军*数学通识》

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