为什么宇宙自然的规律就是：一头富有，一头贫穷，而普通人在中间？

大家好，我是科学羊🐑，这里是数学专栏概率论第3季第6篇。

在探索统计学的奥秘时，我们遇到了两种分布模型：泊松分布和高斯分布，它们各自揭示了小概率事件和大概率事件的统计规律。

泊松分布帮助我们理解了稀有事件的出现概率，而今天，我们将聚焦于高斯分布，或者说，正态分布，它是理解大概率事件的钥匙。

中间大，两头小的分布称为正态分布图（高斯分布）

正态分布，有时被称为高斯分布，是一种在自然科学和社会科学领域极为重要的统计分布。

当一个事件发生的概率非常高，接近于1/2的时候，尤其是当我们进行大量重复实验时，结果的分布会呈现一个典型的钟形曲线，即正态分布（Normal distribution），其拉丁文的原意是“正常的分布”。

为什么这么起名？

因为它和我们日常看到的情况比较符合：

比如，一个班上，成绩突出和特别差的。

一个社会，特别富，和特别穷的！

其数学原理是：回到二项分布，假定事件A发生的概率正好是1/2，经过n次试验后它发生k次，我们将它的概率分布画出来就是上面这个图式结构。

当然，这种分布的形状，被数学家棣莫弗和拉普拉斯首次描述，并称之为正态分布。

然而，是高斯通过他对这一分布误差分析的深入，使得这一分布以他的名字命名，展示了科学发现归功于“最后一位发明者”的趣事。

这里补充点：吴军老师在《科技史纲》里面讲过，发明和发现的荣誉常常授予最后一位发明者或发现者，高斯分布也是如此，虽然刚开始并不是高斯发现的，但这个发现是高斯画上了句号。

高斯分布的美在于它使用均值（平均值）和标准差（或方差）这两个参数来描述数据的分布特性，这不仅使得正态分布在理论上具有普遍意义，而且在实际应用中也极为重要。

高斯分布是如何定义的？

比如，n次抛硬币，平均n/2次正面朝上，它的标准差是σ，那么正面朝上的试验结果超过n/2-σ，同时小于等于n/2次的概率就是图中左边第一区域的面积，即34.1%

同样正面朝上试验结果超过n/2次，小于等于n/2+σ次的概率也是34.1%。

那么，正面朝上的总概率就是[n/2-2σ,n/2-σ] 这个区间，即13.6%。

所以最后根据，随机变量X的概率分布和平均值μ，方差σ^2联系起来，就是如今的正态分布表达式：

例如，在评价学生的考试成绩分布时，我们可以使用正态分布来比较不同班级的成绩。即使两个班级的平均分不同，通过分析它们的分布形状和标准差，我们可以更加精确地判断哪个班级的成绩更为优秀。

一班的考试成绩在60~100分之间变化，均值（平均分）为80分。

二班的成绩在70~100分之间变化，均值为85分。

那我们能说二班比一班成绩好吗？

其实这个问题没有那么简单。

我们根据图形来分析：

上图左边标注了80的曲线是一班的，右边标注了85的曲线是二班的。

从这两条曲线可以看出，一班的成绩有一个很小的可能性超过90分。如果一班真实的平均分应该是90分，而二班依然是85分，我们得说一班反而比二班强了。只不过，这种情况的可能性并不大。

这个可能性可以用蓝色画在了图中。同理，二班虽然平均分为85分，但是也存在一个小概率的可能性，它的平均分不到75分，这个可能性用绿色在图中画出来了。

这种比较不仅适用于学习成绩，还广泛应用于科学研究、工程技术、甚至是金融投资领域。

例如，在医学研究中，通过增加样本数量，我们可以减小标准差，从而提高研究的置信度。正是这样的方法论，帮助百健公司证明了他们的阿尔茨海默病药物的有效性。

正态分布的另一个重要应用是在投资决策中的风险评估。

通过分析标准普尔500指数的历史数据，我们可以看到股市的波动性非常大，这种波动性即是投资中的风险。因此，仅仅比较投资的平均回报率是不够的，我们还需要考虑到回报的波动性，即标准差，来做出更加合理的投资选择。

总而言之，正态分布不仅是统计学中的一个基本概念，它还深刻地影响着我们对世界的理解和决策。通过学习和应用正态分布，我们可以更加科学地分析数据，做出更加理性的决策。

好，今天就先这样啦！

科学羊🐏  2024/02/28

祝幸福~

参考文献：

[1].《吴军数学通识讲义》

[2]. 图片来自wiki + 得到app

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