这是“小学生”都能听懂的微积分知识，类比思维（下）
北海若曰:井蛙不可以语于海者，拘于虚也;夏虫不可以语于冰者，笃于时也;曲士不可以语于道者，束于教也。- 《庄子·秋水》
大家好，我是科学羊🐑，这里是数学篇第五季第03篇，今天我们继续谈谈类比思维，接上篇，本篇是下篇，今天这一篇谈完这个话题。
1884年，英国学者埃德温·A·艾伯特（Edwin A. Abbott）出版的一部小说《平面国》讲了一个这样的故事，一个住在二维世界（即平面国）的正方形（Square）的故事。在平面国，所有的居民都是各种平面图形，包括线段、三角形、多边形等，它们的社会地位和形状相关：多边形的边越多，社会地位越高。
正方形是这个故事的叙述者和主角。一天，他梦见自己访问了一个一维的世界，被称为“直线国”（Lineland），他尝试向直线国的居民解释二维空间的概念，但失败了。
随后，他被一个来自三维空间（我们居住的世界，被称为“立体国”）的球体访问。球体向正方形解释了三维空间的概念。起初，正方形难以接受这个想法，但最终他被带到三维空间，体验了一个全新的视角。
在这段奇妙的经历后，正方形回到了平面国。他激动地尝试向同胞们传播关于更高维度空间的知识，但遭到了排斥和逮捕，因为在平面国，讨论超出二维世界的内容被视为异端邪说。
读到这里，我们不经意想到庄子的一句话：“井蛙不可语海，夏虫不可语冰。”我们嘲笑井底之蛙，可我们有时何尝不是井底之蛙。
我们永远都被困在自己所认知的思维模式里，而类比恰恰是最好去理解新世界额度最好方法！
好，接下来我们根据类比的思维来看几个数学知识，希望对你有用！
01. 曲线下的面积
假设我们有一条弯弯曲曲的轨迹，比如一个小山丘的轮廓。我们想知道这个小山丘下面（从地面到山顶的轮廓线）的面积有多大。这就像你要画一幅画，画里有一座山，你想用颜料完全填满山的形状。
微积分中，我们可以把这个山丘想象成很多很细的直立的切片（如下图所示），每一片都像一根非常薄的铅笔截面。如果我们知道每根铅笔的宽度和高度，我们就可以把所有铅笔的面积加起来，这样就可以得到整个山丘的面积了。
在数学上，我们会用一个工具叫“积分”来帮助我们把所有这些薄片的面积加起来。就好比我们有一个非常聪明的计算器，它可以快速地把成千上万个小片的面积全部加起来，给出山丘下面的总面积。
假设我们有一个函数定义了一条曲线，我们想要计算这条曲线从 到 下的面积。
即，
这里的 符号表示“积分”，它帮助我们把曲线下的区域分成无数小块，然后把它们的面积加起来。 表示这些小块的宽度，非常非常小，几乎是一条线。这样，我们就可以得到曲线下的整个面积。
旋转体的体积
现在，如果我们想知道一个物体的体积，比如一个花瓶的体积，我们可以用一个类似的方法。假设你用泥巴在制作一个花瓶，你可以把这个花瓶想象成由很多很薄的圆盘堆叠起来。每一个圆盘都是一圈圈泥巴。
通过微积分，我们可以计算出每一个小圆盘的体积（就像我们计算圆的面积，然后再乘以圆盘的厚度），然后再把所有这些小圆盘的体积加起来。这样，我们就可以得到整个花瓶的体积了。
在数学中，这个方法叫做“体积的积分”。它就像是一个超级计算器，可以帮我们计算很多很多层堆叠在一起的小圆盘的总体积。
如果我们将 这条曲线围绕 轴旋转一圈，形成一个三维的物体，我们可以计算这个物体的体积。
即，
这个公式中， 表示将函数 的值平方，因为我们在计算旋转体每一个小圆盘的面积（圆的面积公式是 ，这里的 就是）。然后，我们用积分把所有小圆盘的体积加起来，得到整个旋转体的体积。
大家请注意：不要被“微积分”这个名称吓倒，其实，微积分的原理小学生一般都能理解，圆的面积就是使用微积分思想来求的。
大家知道，圆可以定义为平面上所有到固定点（圆心）距离等于半径 的点的集合，而我们的目标是计算这个圆的面积。
微积分中求面积的一种常见方法是将复杂的形状分割成无限多个非常细小的部分，然后计算每个小部分的面积，最后将这些小部分的面积累加起来。对于圆，我们可以将其分割为无数个细小的圆环（环状切片）。
想象你在圆心向外切割非常细的圆环。每个圆环的厚度非常小，可以表示为 ，其中 是从圆心到圆环内侧的距离。圆环的面积可以近似为圆环的周长乘以圆环的厚度。对于一个内半径为 、厚度为 的圆环，其周长是，因此其面积近似为 。
要计算整个圆的面积，我们将所有这些无限小的圆环的面积加起来。这可以通过积分从 到 来实现（其中 是圆的半径）：
进行积分计算：
通过这种方式，我们使用微积分的原理——通过无限分割和积分累加——来求解圆的面积。这不仅展示了微积分的强大功能，也提供了对圆面积公式 的深刻理解和数学证明。这种方法把一个复杂的面积问题简化为了一系列小问题的累加，是微积分中“积分”思想的典型应用。
02 分割到无穷
我们再看一个关于求面积 的类比案例。
如下图所示，大正方形边长等于1，我们需要做下面几个操作。
第一步：先它被分成4个相等的正方形， 第二步：将左上角的正方形涂橙色， 第三步：重复1、2步骤，再将右下角的正方形一分为四，然后将其左上角的小正方形涂色。
如果我们一直持续这一过程，那么橙色部分的面积部分占整个大正方形的面积的多少？
这个问题最直接的解法要用到小学生很难理解的无穷级数求和。
如果不用无穷级数求和，我们则可以这么考虑，配合下图所示：
我们忽略掉右下角的 正方形块，然后在剩下的部分中，涂色块就占 ；
在被去掉的 块里，再去掉这个 块的右下角 的块，那么涂色部分依然占整个面积的 。
依此类推，每次都去掉右下角的一小块，涂色部分的面积在不同的尺度上都是整个面积的 ，因此整体上涂色部分面积为整个正方形面积的 。
按照这个思路，我们再看一个案例：
第一步：在黄色正三角形中，取三角形三个边的中点 并如图连接。
第二步：取 三条线段的中点 并分别连接。
第三步：将 画成蓝色如上图所示。
接着，按照上面的操作继续对中间 的重复上述操作。如果这一操作一直持续下去，直到永远，请问：图中黄色部分的面积占整个正三角形面积的几分之几？
且看，其实思路和上面正方形是一样。
在正方形问题的解法中，我们在正方形中去掉一块放大后与原图一样的部分（即 ）。对应地，我们也找出三角形图形中放大后与原图一样的部分，也就是 ，显然是点对应的三角形。
把它去掉后，在剩下的部分里，黄色区域的占比为 。因此，全部黄色部分面积在整个正三角形中的占比也是 。
好，今天就先这样啦。
科学羊🐑
2024-06-06 于东莞
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