“社交牛X症”发病原因的数学分析
前一段时间，“社交牛X症”刷遍全网。所谓社交牛X症，指的是可以不在乎他人的想法与目光，彻底放飞自我的社交方式。与“社交恐惧症”相对，是一种无所畏惧的社交方法。
在网络上，很多患者已经以自己的实际行动诠释了社交牛X症的具体症状。而作为多年的“社恐达人”，笔者决定从数学的角度，对社交牛X症进行深入的另类解析，同时为下次与陌生人交流积累谈话素材。
社交牛X症的白雪公主 VS 社交恐惧症的乔巴
（图片来源：giphy.com）
社交的本质：彼此连接的网络
无论是“社交牛X”抑或“社交恐惧”，其前提都落脚在“社交”之上，因此有必要在研究伊始给出社交的恰当定义。我们将社会中的人抽象成一个个节点，如果两个人相互认识，则将对应的两个点用线段连接，最终我们将得到一个图，这也是图论要研究的对象。
（图片来源：腾讯视频）
图 (Graph)是由若干给定的顶点，以及连接两顶点的边所构成的图形，通常用来描述事物之间的关系。顶点用于代表事物（如人），连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有某种关系（如相互认识）。
考虑到现实社会存在大量节点（人口众多），且这些节点之间存在错综复杂的联系（关系复杂），我们得到的这张复杂网络就会出现简单网络所不具备的特殊拓扑特性。
从“大世界”到“小世界”
——六度分隔理论
在日常生活中，一个常见的现象是，某些与你聊天的朋友也是你另一个朋友的朋友（禁止套娃）；某个你觉得完全无法结交的人，其实也是你朋友的朋友（禁止套娃+1）。人与人之间的关系往往会比你想象的更为密切，所以社交网络一般也被称为小世界网络。
在网络理论中，小世界网络是一类特殊的复杂网络结构，是一个由大量顶点构成的图，其中任意两个顶点之间的平均路径长度比顶点数量小得多。换言之，虽然网络中大部分的节点彼此并不相连，但绝大部分节点之间经过少数几步就可到达。人类社交网络就表现出明显的小世界网络特性。除此之外，互联网、公共交通网、脑神经网等都有类似的特点。
（图片来源：acfun）
小世界网络的概念最早可以追溯到1929 年匈牙利著名作家考林西（Karinthy Frigyes）的短篇小说《链条》。小说中认为人与人之间最多需要5层关系就可以建立起联系。1967年，哈佛大学社会心理学教授米尔格拉姆（Stanley Milgram）的连锁信实验，以及由此给出的“六度分隔”（six degrees of separation）假说（编者注：即最多通过六个人就能够认识任何一个陌生人），开启了学者对小世界网络的学术探索。
考林西（左）与米尔格拉姆（右）
（图片来源：wikipedia）
米尔格拉姆最初以美国堪萨斯州威奇托市为起点，随机选择了60名志愿者，他给了每位志愿者一封信，并要求志愿者将信传递给一位居住在马萨诸塞州某指定地点的股票经纪人。早期的实验虽然设计比较粗糙，但仍然有3封信送到了目的地。后经过多次改良实验，米尔格拉姆成功将送达率提升至35%，后来更上升为97%。
米尔格拉姆实验中一条可能的传递路径
（图片来源：wikipedia）
不仅如此，米尔格拉姆还发现了所谓的漏斗效应，即大部分的传递都是由那些极少数的明星人物完成的。在一次样本数为160的实验中，24封信最终送到收信人的家中，其中16封会经同一人送到；剩下的送到收信人办公室的信件中，也有一半是由两个人送来的。
这些实验，为后来小世界网络的严格建模提供了支持。
小世界网络的数学基础
小世界网络在社会学研究中被提出后，在相当长的时间里都没有与之相对应的数学模型。直到1998年，当时还在康奈尔大学攻读博士学位的邓肯·瓦茨（Duncan Watts）与导师斯蒂文·斯特罗加茨（Steven Strogatz）提出了一种新的复杂网络模型，即著名的瓦茨-斯特罗加茨（WS）模型，这也是最经典的小世界网络模型。
瓦茨（左）与斯特罗加茨（右）
邓肯·瓦茨，宾夕法尼亚大学教授，曾任微软纽约研究院首席研究员。斯蒂文·斯特罗加茨，康奈尔大学教授，同时也是一位科普作家。（图片来源：wikipedia、stevenstrogatz.com）
WS模型首先定义了一个初始状态（规则网络），即每个节点都与一定距离的节点相连，也就是社交的初始状态——首先与邻居交朋友。假设节点数为N（即研究对象总共有N个人），“邻居”定义为与此节点最近的2k个节点。此外，我们还要求k远小于N。多言无益，直接上图——
N=20（共有20个红点），k=2（左右两侧各2个，共计4个"邻居"），p=0（所有连接都不会被重连）
接下来，选择规则网络中的一个节点（标记为1号），从它开始将所有节点顺时针编号。然后1号节点的第1条连接会有0<p<1的概率被重连（保持与1号节点连接的一端不变，将另一端随机换成网络里的另一个节点，但不能使得两个节点之间有多于1个连接）。2，3，…，N号节点依次类推。然后再从1号节点的第2条连接开始，重复上面步骤。当所有节点的所有连接都经历上面的步骤，操作结束，得到小世界网络。
N=20，k=2，p=0.5（即每条连接有50%概率被重连）
当然我们也可以让这个过程极端一些，譬如令p=1，我们将得到一张更为混乱的图，即随机网络。
N=20，k=2，p=1（即每条连接都被重连）
“病因”大揭秘
有了上面的一系列铺垫，让我们最终步入正题，看看所谓的社交牛X症的发病原因，及其背后的数学原理。
首先让我们考虑社交达人所具有的属性。有人可能会觉得，社交牛X症患者必定朋友多多。但根据英国人类学家罗宾·邓巴的研究，一个人维持紧密人际关系的人数是有上限的，一般而言为150左右。换言之，有些人虽然“认识”很多人，但不能建立更进一步的关系。所以相较于朋友的数量，朋友圈整体质量更能反映一个人社交牛X的程度。
敢于乱搭讪并不能证明你就是社交牛X症，因为——
（图片来源：giphy.com）
所以在本研究中，我们沿用WS模型的设定，假设每个节点的邻居都为2k。同时定义“所有与某节点相连的点之间的实际边数，除以这些点之间可能存在的边数的最大值”为集聚系数（编者注：可反映节点之间结集成团的程度）。为了方便大家理解，把上面的定义写成简单的数学表达式：
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更具体的解答
为了方便理解，这里再举一个例子。取最简单的情况，p=0，k=3，上图中红点定义为点i，Cimax=蓝色边+黑色边，Ni=黑色边。
对于最简单的情况，p=0（规则网络），我们可以利用小学数学知识（这里真的是小学数学——植树问题的变种有木有），计算Ci。
由于规则网络中每个点的情况都是相同的，所以整个网络中所有节点的集聚系数的平均值也等于上面得到的Ci。而对于一般情况，当p>0时，我们也可以求得每个点的集聚系数和整张网络的平均集聚系数。根据Barrat和Weigt的数值模拟，网络的平均集聚系数可以近似地记作：
类似地，我们可以定义节点间的路径长度dij，进而求得整个网络所有节点间的平均路径长度L。平均路径长度指示了网络中两点间最短距离的平均值。
值得一提的是，对于社交网络（也就是图论研究的图）而言，存在有向图（与节点相联的边有出入之分）和无向图两种情况。上面介绍的结论皆是以无向图作为研究对象，但有向图的分析方法类似，只是需要区分dij与dji。
无向图（“你爱我呀我爱你”）vs有向图（“你不要过来啊”）（图片来源：giphy.com）
综上所述，当0<p<1时，集聚系数和平均路径长度都可以视为概率p的函数。根据瓦茨和斯特罗加茨的数值模拟及针对电影演员人际关系、电力网络和秀丽隐杆线虫（C.elegans）神经网络的实证研究，p从0到1的过程中，平均路径长度L下降很快，而集聚系数C下降较慢。
图中横轴的长度为概率p的对数，纵轴是比值。实心点和空心点分别代表L(p)/L(0)与C(p)/C(0)。随着p的增大，L(p)迅速下降；当p>0.1之后，C(p)才开始显著下降。这也是小世界网络最显著的特征之一。（图片来源：参考资料[6]）
举个栗子，莫蒂一家本是普普通通的地球人，但是有了瑞克这个“社交牛X症”患者，他们可以轻轻松松地与其他星球的生物建立链接，节点间的路径长度大大减少，社交网络的效率大大提高。
然而，如果人人都表现得“社交牛X”（如第二季第四集外星寄生虫入侵后，整个屋子都是“熟人”），反而会使得集聚系数快速下降，“小团体”（譬如莫蒂原本的家庭）分崩离析。
小世界网络模型说明，路径重连会使得整个网络的平均路径长度迅速下降。换言之，少数“社交牛X症”患者（网络枢纽）的存在会导致整个网络的链接效率大大提高；现代社会人渴望扩大社交圈的范围，也反过来催生了“社交牛X症”的出现。
不过，当p达到一定数值（>0.1）之后，集聚系数会显著下降。换言之，“社交牛X症”患者过多会降低网络结团的程度，进而减少网络中“小团体”的出现。所以，“社牛”虽牛，多了也乱套啊。
其实，甭管你是“社牛”还是“社恐”，最重要的是，大院er都希望你能收获人类高质量友谊！
参考链接：
[1]戴一奇，胡冠章，陈卫. 图论与代数结构[M]. 北京：清华大学出版社，1995.
[2]Blass, T. (2004). The Man Who Shocked the World: The Life and Legacy of Stanley Milgram. Basic Books.
[3]Milgram, S. (1967). "The Small World Problem". Psychology Today. Ziff-Davis Publishing Company.
[4]Travers, J., Milgram, S. (1969). "An Experimental Study of the Small World Problem". Sociometry. 32 (4): 425–443.
[5]Gladwell, Malcolm. "The Law of the Few". The Tipping Point. Little Brown. pp. 34–38.
[6]Watts D.J., Strogatz S.H. (1998). "Collective dynamics of 'small-world' networks". Nature. 393 (6684): 440–442.
[7]Small World Model – Using Python Networkx.
https://www.geeksforgeeks.org/small-world-model-using-python-networkx
[8]Dunbar, R. I. M. (1992). "Neocortex size as a constraint on group size in primates". Journal of Human Evolution. 22 (6): 469–493.
[9]Gladwell, M. (2000). The Tipping Point – How Little Things Make a Big Difference. Little, Brown and Company.
[10]章忠志、荣莉莉、周涛 (2005), 一类无标度合作网络的演化模型. 系统工程理论与实践. 11: 55–60.
[11]Barrat, A., Weigt, M. (2000). "On the properties of small-world network models". European Physical Journal B. 13 (3): 547–560.
[12] 汪小帆,李翔,陈关荣. 复杂网络理论及其应用[M]. 清华大学出版社，2006.
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