浅析期权二叉树定价模型

景来律师导读

期权，既是一种权利，也是一种工具。使用得当就可以转化为收益，使用不当就会造成亏损。经过不断的探索、研究，目前已有多种期权套利策略，现就二叉树法进行分析，重点在于方法背后的思维逻辑。（Jlls）

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假定：股票现在的市价：S₀=50元       看涨期权到期时间：T=6个月

   到期时股价上行乘数：U=150%                到期时股价下行乘数：D=50%

   期权执行价格：X=60元         无风险利率（半年报价利率）：r=2%

计算过程：

根据已知条件，构建股权二叉树：

         到期时股价上行乘数：U=150%   → S_u=50*150%=75

         到期时股价下行乘数: D=50% →   S_d=50*50%=25

从股权二叉树计算期权二叉树：

S_u=75  →  C_u=75-60=15

S_d=25   →  C_d=0

根据复制原理（套期保值原理），构造一个借钱买股票的组合：H*S-PV（B）

H*S为买入H手股票，PV（B）为借款金额

建立联立方程式：C_u=H*S_U-B

        C_d=H*S_d-B

把上面计算的C_u、C_d、S_u、S_d代入上面方程，计算出：H=0.3、B=7.5

现时点PV（B）=B/（1+2%）=7.35

即：现时点构造的组合（期权）价值为：C₀=H*S₀-PV（B）=7.65

计算思路：

根据看涨期权的行权价格、行权时股价上涨价格，确定股价上涨时期权价值（股价减行权价格）；根据看涨期权的行权价格、行权时下行股价，确定股价上涨时期权价值（股价小于行权价格，期权价值为0）；

用股票和借款构造期权价值（H*S-B），无论行权时股价上行或下行，构造出的组合价值都应当等于此时的期权价值；

将构造的组合分别等于上行、下行时期权价值，建立二元一次方程组，计算出构造组合中的H和B，将B除以期权持有期间的无风险利率，得出现时点的借款金额PV（B）；

将H和PV（B）代入构造的组合，得出现时点的期权价值C₀

套利思路：

比较现时点期权的实际价格和计算得出的C₀，如果现时点期权的价值（假定为7元）小于计算出来的C₀（7.65元），此时应当卖出H（0.3）手股票（15元）、存入存款PV（B）（7.35元），买入期权（7元），剩余0.65元。当未来出现股票上涨为75元的时候，期权行权获得75-60=15（元），取出存款7.35*（1+2%）=7.5（元），用两者所得（15+7.5=22.5）买入股票0.3手（22.5元），至此，正好平账，手里剩余当初的0.65元（白赚）；当未来出现股票下跌为25元的时候，期权行权获得0元，取出存款7.35*（1+2%）=7.5（元），买入0.3收股票（7.5元）进行平账，手里仍会剩余当初的0.65元（白赚）；

如果现时点期权的价值（假定为8元）大于计算出来的C₀（7.65元），进行反向操作，仍能保证稳赚不赔。

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