王芝平：任凭函数多变幻，求导原则不能撼

 任凭函数多变幻，求导原则不能撼

王芝平

(北京宏志中学  100013)

发表于《数学通报》2019年第2期

函数导数综合性问题一般都要回归函数单调性的判断，而判断一个复杂函数的单调性恰是函数导数的功能之一.

解决函数导数问题一般要经历“分析问题、构建函数、研究函数、解决问题”等几个环节．即：

1.分析问题  首先要弄明白我们的目的是什么？即要解决的问题是什么？它能转化成什么等价问题(熟悉或易解决的)？

2.构建函数  为了解决上面问题，要构建恰当函数，使所构建的函数既能反映问题的本质，又更易于解决问题.

3.研究函数  一般要借助导数研究这个函数的单调性.函数导数在其零点左右两侧取值异号，那么该零点就是函数单调增、减区间的“分界点”，也必是函数极值点，进而有可能是函数的最值点.

4.解决问题  通过获得的函数性质解决问题.

解后反思要升华

上述过程虽然艰难曲折，但是对导数的功能却有了更深层次的切身感悟，让我们充分体会到“任凭函数多变幻，求导原则不能撼——函数单调不单调，导数正负破玄妙”，简单地说，如果想知道一个函数的单调性，那么就看看其导数的正负吧！

可谓“不忘初心，方得始终”！

本题主要考查函数的导数及其应用等基础知识，考查初等函数的求导法则，导数的极值、导数与函数单调性之间的关系，以及利用导数求函数极值和最值的方法.考查逻辑思维能力和运算求解能力，以及灵活应用导数运算、函数基本概念和性质分析问题、解决问题的能力.

从上述答案看，第一问有助于考生稳定考试情绪，有给考生送分的目的，在高考这样的大型考试中，不仅是需要的，而且是值得肯定的．

解后反思要升华

利用导数研究函数性质时，要明白求导的目的与意义是什么？不能让求导成为一种僵化的解题模式，求导之后就不知道干什么了，这归根结底还是没有从本质上理解导数工具能为我们分析函数带来什么.上面的解法不同于标准答案，其特点是不断分析新的目标函数应该正负如何，单调性如何，指引的非常清晰，解题很有目标感.这就是所谓的“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的能力吧.

在上述解法中，虽然多次构造新的函数、多次求导，但是它们都不是解决问题的本质核心，核心是我们想研究函数的什么，我们用什么工具手段来研究，从这点来说，三次求导虽然罕见，但是并不是新鲜的题型，而是对于“原则”的合理运用，“任凭函数多变幻，导数原则不能撼”正是一针见血的点明了这一点.

再次表明我们的观点：“任凭函数多变幻，求导原则不能撼——函数单调不单调，导数正负破玄妙”.  (反思部分参考了数学名师郭化楠先生的点评)

参考文献

1.王芝平.参数范围迷人眼，必要充分常相宜[J].北京：数学通报，2018，2

2.王芝平，王坤.决胜高考数学压轴题(理科)[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2016，12

3.王芝平. 创新取向的数学变式教学[J].北京：中小学教材教学，2016，9

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