【精彩论文】离散时域框架下的电网状态空间构建及应用

‍

离散时域框架下的电网状态空间构建及应用

熊玮¹, 张越^2,3, 窦建中¹, 江保锋¹, 单连飞^2,3

（1. 国家电网公司华中分部，湖北 武汉　430077; 2. 南瑞集团有限公司（国网电力科学研究院有限公司），江苏 南京　211106; 3. 北京科东电力控制系统有限责任公司，北京　100192）

摘要：为了更高效、更便捷地获取电网特征值，提出一种基于离散时域模型(discrete time domain model，DTDM)的状态空间构建新方法，并给出稳定性判据。所提方法中元件能够被自然的线性化，每个求解单元里状态空间的构建简单高效。同时，所构建的状态空间能够一次性捕获更宽范围的信息且不受电气设备数学模型的限制，仅利用元件自身的DTDM与电网的连接拓扑便可得到系统完整的状态空间。所提方法对于特征值的计算简洁高效，能给出特征值的变化趋势，预测系统的稳定性变化。

引文信息

熊玮, 张越, 窦建中, 等. 离散时域框架下的电网状态空间构建及应用[J]. 中国电力, 2022, 55(6): 111-117.

XIONG Wei, ZHANG Yue, DOU Jianzhong, et al. Construction and application of discrete-time-domain framework -based power-grid state space[J]. Electric Power, 2022, 55(6): 111-117.

引言

特征值分析法是判断电网小干扰稳定性的重要手段^[1-3]。随着新能源接入比例不断提高^[4-6]、直流系统容量^[7-10]不断增加，电力电子化程度逐渐加深^[11-15]，传统状态方程面临变量选取困难、特征值求解低效等问题^[16-17]。连续时域下的状态空间构建需要人为进行线性化，导致截断误差产生，对电力系统的安全运行与经济性造成影响。随着电网规模的不断扩大，连续时域下的状态空间维数不断增加，特征值求解效率将急剧下降。电磁暂态仿真虽然能够精确模拟并指导电网运行，但该技术需要庞大的计算资源^[18-20]，且不能一次性地提供系统的全部信息，严重影响工作效率。电磁暂态仿真虽未能直接解决电网稳定性分析问题，但其作为重要的工具^[21-25]，为电网在离散时域框架下的状态空间构建提供了一种新的思路：首先，利用离散时域下设备的线性化模型，自然解决电网的非线性问题；然后，在每个单元时域内分别构建基于线性模型的状态空间并求解特征值，判断各单元时域内系统的稳定性；最后，逐步解决各个单元时域内电网的稳定性，并以时间轴为依据得到整个系统的稳定性变化，判断系统的整体稳定性。本文采用上述思路，对基于离散时域模型(discrete time domain model，DTDM)的电网状态空间构建及应用进行分析。由于元件的非线性被自然线性化，本文方法在特征值的求解中可避免人为带来的误差，能够一次性捕获更大范围的系统信息。

1  离散时域下的状态空间稳定判据

本文以上标“·”表示状态量随时间的增量，则电网在连续时域与离散时域框架下的状态空间方程分别为

式中：x为状态量；y为输出量；u为输入量；t为时间；A^C~D^C为连续时域下的系数矩阵；A^D~D^D为离散时域下的系数矩阵；Δt为时间的增量。

在梯形积分下，离散时域框架下的状态量x(t+Δt)与x(t)的关系为

将状态空间方程带入式（2），可得

式中：为单位矩阵；K为与Δt有关的系数。

假设外部输入量不变，式(4)可转变为

对比式(2)与式(5)的离散时域状态空间，可知

由于输出量与输入量为同一时刻的相关量，则有

离散时域框架下的状态空间系数与连续时域下的状态空间系数相互联系，即

式中：λ_i^D为离散时域框架下的第i个特征值；λ_i^C为连续时域框架下对应的第i个特征值。

根据李雅普诺夫判定条件^[17,25]与式（8），离散时域框架下的系统稳定判据为：在以实部为横坐标，虚部为纵坐标的参考系中画出离散时域框架下所有特征值除以K后的点。当所有的点均在单位圆范围内时，原始电网是渐进稳定的；当至少有一个点在单位圆范围外时，原始电网系统是不稳定的；当至少有一个点在单位圆上，且其余均在单位圆内时，原始电网系统的稳定性需要进一步判定。同时，表征特征值的点离单位圆边界越近，系统的稳定裕度越低。

2  离散时域下的归一化状态空间构建

2.1  各类元件在离散时域框架下的状态空间方程

电感、电容以及电阻的离散时域模型如图1所示。i_L、i_C、i_R分别为流经电感、电容、电阻的等效电流。R_L(t)、R_C(t)、R_R(t)分别为t时刻电感、电容以及电阻在离散时域下的等效电阻值，即

式中：L(t)、C(t)、R(t)分别为t时刻元件的电感值、电容值及电阻值。

图1  电感、电容以及电阻的离散时域模型Fig.1  The DTDM of inductor, capacitor, resistor
图1中的h_L(t)、h_C(t)、h_R(t)分别为t时刻电感、电容及电阻的等效历史电流源，即

式中：v₁(t)、v₂(t)分别为支路的两端的瞬时电压。

相应地，可以推出(t+Δt)时刻电感、电容以及电阻的等效历史电流源为

电感、电容以及电阻存在以下关系，即

将式（12）带入式（11）可得

式中：G_L(t)、G_C(t)、G_R(t)分别为电感、电容以及电阻在离散时域下t时刻的等效电导值，即

对于交、直流断路器，理想开关以及电力电子器件等开关类设备，离散时域框架下本文采用下述方式对其进行处理：当开关设备处于导通状态时，将其等效为一个数值很小的电阻(通常设定为0.001 Ω)；当开关设备处于关断状态时，将其等效为一个数值很大的电阻(通常设定为1 MΩ)。在上述等效下，开关设备在同一单元时域内的状态方程与电阻相同，不同的是当开关状态发生变化时，在下一个单元时域的等效电阻数值会发生变化。

2.2  状态空间构建

将电网中的所有设备均采用离散时域等值模型替代后，便可对整个电网的状态空间进行推导。假定分析的两个连续的单元时间域为(t–Δt,t]与(t,t+Δt]，则具体流程如下。

首先，基于电感、电容、电阻及开关的DTDM，得到整个电网的DTDM。基于该离散时域模型的网络结构，得到(t+Δt)时的节点电压方程为

式中：G(t+Δt)为(t+Δt)时刻的电网DTDM模型节点导纳矩阵；V(t+Δt)为(t+Δt)时刻的电网节点电压向量；I(t+Δt)为(t+Δt)时刻的电网节点注入电流向量。

根据电网络的计算原理可知，节点注入电流向量I(t+Δt)与各支路历史电流源的关系为

式中：L(t+Δt)为(t+Δt)时刻的电网DTDM模型的节点-支路关联矩阵；h(t+Δt)为(t+Δt)时刻的电网DTDM模型中各支路的历史电流源组成的历史电流源向量。

电网DTDM中(t+Δt)时各节点的电压表示为

式中：G^-1(t+Δt)为(t+Δt)时刻的电网DTDM模型节点导纳矩阵的逆矩阵。

式中：k(t)为t时刻电网DTDM的支路-支路修改矩阵；g(t)为t时刻电网DTDM的支路-支路修改矩阵；V_line(t)为t时刻电网DTDM的支路电压向量。

式中：L^T(t)为t时刻电网DTDM模型的节点-支路关联矩阵的转置矩阵，也就是支路-节点关联矩阵。

最后，将式（19）带入式（18）可得

采用历史电流源作为状态变量，则可以构建出新的状态空间架构，且其中的A(t)系数矩阵为

基于离散时域模型的电网稳定性判断方法流程如图2所示。从图2可知，基于离散时域模型的稳定性判断方法主要依赖于矩阵计算，且由于所有的矩阵都是实数矩阵，同时部分矩阵稀疏度很高，因此上述方法的计算速度较快。当电网连接结构确定后，由于各支路的属性及连接结构不会发生变化，k(t)、L(t)及L^T(t)在计算过程中也不会再发生变化，只需要计算一次即可，且G(t)与g(t)也只需要修改发生变化的支路即可，加速了矩阵计算的速度。当系统出现不稳定的特征值时，可以迅速定位到不稳定特性出现的时刻，并指出影响稳定性的原因，便于电网工程师处理问题，具有良好的工程应用前景。

图2  基于离散时域模型的稳定性判断方法

Fig.2  The DTDM based stability evaluation method

3  算例验证
为了对所提方法进行验证，验证算例如图3所示。其中，R=0.1 Ω，L=5 H，C=250 μF；R₁=10 Ω，L₁=4 H，C₁=20 μF；R₂=1 Ω，L₂=5 H；开关S₁在第20个单元时间域与第21个单元时间域之间状态由关断转为闭合，开关S₂在第40个单元时间域内与第41个单元时间域之间状态由关断转为闭合；V=8.5 V，Δt=50 μs。

图3  验证算例

Fig.3  The validation case

3.1  特征值转换关系验证

对离散时域与连续时域下的特征值转换关系进行验证，以图3中红色虚线部分的RLC串联电路为验证电路，分别计算电路参数在R=100 Ω，L=5 H，C=250 μF下的连续时域特征值及离散时域特征值。针对红色虚线部分的RLC串联电路，在连续时域框架下的状态空间可以选取电感电流与电容电荷为状态变量，可得A^C矩阵为

连续时域框架下的特征值为

离散时域框架下与状态空间有关的系数为

因此，离散时域框架下的状态空间与相应的特征值分别为

对比式（23）与式（25）中的相应特征值，可知式（8）的转换关系是正确的。

3.2  基于离散时域模型的电网稳定性分析方法验证

在Matlab平台下编写离散时域电网模型，电网状态空间计算结果如图4所示。由图4a)可知，开关S₁动作前、开关S₁动作后以及S₂动作后系统均有5个特征值，但是由于电路结构的改变，3个阶段的5个特征值并不完全重合。在图4b)中，清楚的给出了3个阶段的特征值变化轨迹。本文所提的方法能够捕捉到系统每一时刻的特征值变化，且可以计算出系统每一时刻的特征值，尤其对于含开关器件等非线性元件的系统，上述特性在工程应用中尤为重要。上述结果也说明，在本文所提的方法中，系统的特征值变化可以直观的体现的计算结果随时间的变化中，因此只需要观测计算结果，即可以知道电路的操作对系统稳定性造成的影响。从图4c)中可知，无论是开关S₁动作，还是开关S₂动作，系统均是稳定的。同时，图4c)也说明了系统的稳定性在本文所提方法中可知直接被判断，这样，当检测到特征值落到单位圆附近，或者单位圆外，可以结合图4a)直接挑选出影响稳定性变化的因素。

图4  电网状态空间计算结果

Fig.4  Calculation results of power grid state space

基于本文方法对任意区域电网或所需要研究的电网进行离散化稳定性建模与分析，则电网的调度运行人员便能够一次性地捕获更宽范围的电网系统信息，避免了人为线性化带来的误差。

4  结语
本文提出了一种基于离散时域模型的电网状态空间构建方法与稳定性判据。在所提的方法中，假定元件在每个计算时域内都是线性的，然后逐步地计算出各计算时间域的系统特征值，并判断各时域内系统的稳定性，最后综合每个时域内的判断结果，分析系统的整体稳定性。本文所提的方法能够一次性捕获系统全部的稳定性信息，不受设备的模型限制，状态空间的构建与计算简单高效，容易实现可视化，具有良好的工程应用价值，尤其对于含多个开关设备的系统，计算效率与判定效果更优。（责任编辑　杨彪）

作者介绍

熊玮（1986—），男，高级工程师，从事调度运行控制、源网荷储、电力市场及大电网人工智能调控技术研究，E-mail：[e-mail];

★

张越（1989—），男，通信作者，工程师，从事电力系统自动化控制与应用技术研究，E-mail：[e-mail].

欢迎点击文后“阅读原文”跳转期刊官网，获取更多信息！

 往期回顾 

◀

编辑：杨彪

校对：蒋东方

审核：方彤

声明

根据国家版权局最新规定，纸媒、网站、微博、微信公众号转载、摘编《中国电力》编辑部的作品，转载时要包含本微信号名称、二维码等关键信息，在文首注明《中国电力》原创。个人请按本微信原文转发、分享。欢迎大家转载分享。