【精彩论文】基于数据驱动机会约束的发电企业电煤采购及库存优化模型

基于数据驱动机会约束的发电企业电煤采购及库存优化模型

姚力, 郑海峰, 单葆国, 谭显东, 许传龙, 徐志成

（国网能源研究院有限公司，北京 102209）

摘要：发电企业电煤采购及库存优化对于电力保供、保障发电收益具有重要意义。国家能源主管部门已经对电厂安全存煤水平提出了明确要求。但尚未有研究对因发电量和运力不确定性导致的库存越限风险进行概率建模并提出相应的优化模型。针对这一问题，构建基于数据驱动机会约束的发电企业电煤采购及库存优化模型，提出相应的求解方法。首先，考虑发电量和运力不确定性，建立数据驱动的库存机会约束，将其转化为可被求解的条件风险价值约束；然后，利用条件风险价值对决策变量的凸性，提出了一种条件风险价值约束的分段线性化近似方法；最后，采用一个包含10个燃煤电厂的发电企业进行算例测试。优化结果表明：考虑机会约束后，电煤库存越限风险被约束在允许范围内；提出的条件风险价值约束分段线性近似方法能够使模型具有可扩展性，在降低模型规模的同时还能保证较高的精度。

引文信息

姚力, 郑海峰, 单葆国, 等. 基于数据驱动机会约束的发电企业电煤采购及库存优化模型[J]. 中国电力, 2023, 56(6): 176-184.

YAO Li, ZHENG Haifeng, SHAN Baoguo, et al. An optimization coal procurement and inventory model for power generation enterprises based on data-driven chance constraints[J]. Electric Power, 2023, 56(6): 176-184.

引言中国局部地区曾由于电煤供应紧张、库存水平较低，造成煤电发电能力大幅下降，进而出现电力缺口。优化发电企业电煤采购及库存策略对于电力保供和保障发电收益具有重要意义。能源主管部门已经采取措施完善电厂安全存煤制度，确保牢牢守住电厂7天安全存煤底线^[1]。优化电煤采购及库存策略需要解决两个问题：一是制定发电企业的电煤采购和库存决策；二是应对运力、发电量的不确定性。对于前者，学界普遍基于理性决策的假设，从最小化经济成本或最大化收益出发，建立优化模型^[2-6]。对于后者，已经有研究采用随机规划理论对不确定性建模^[7-8]。机会约束是随机规划理论的一种常用建模方法，保证约束至少以一定概率得到满足^[9-12]，但目前尚未有基于机会约束规划的电煤采购与库存优化策略研究。安全存煤底线给出了电煤库存的下限，并且受限于仓储能力，电煤库存存在上限。已有研究虽然建立了考虑发电量、价格等不确定性的优化模型，但是并未对库存越限风险进行概率建模，表现为电煤库存约束仍然是确定性约束，所以无法衡量实际库存越限的概率并管控其风险。另外，条件风险价值建模中采用了样本值经验分布近似真实分布，使得模型不具有可扩展性。

针对这一问题，本文提出了基于机会约束规划的发电企业电煤采购及库存优化模型及求解方法。

1  模型构建电煤库存水平主要取决于购煤和发电耗煤。所建立的模型通过在满足运行约束条件下最小化全年的电煤采购和库存成本。1.1  模型假设根据煤炭、电力的相关政策，结合电煤供应链实际运行，模型有以下假设。1）发电企业全年购煤量分解到各月。月度电煤价格运行在合理区间内^[13]。模型暂不涉及进口煤。2）根据不同发电企业的定位，采用2种煤价建模方法。①基于文献[14-15]的实证研究，假设购煤价是发电企业购煤量的增函数，具体函数形式可根据发电企业历史经营情况确定；②将煤价视为常数。

3）模型优化发电企业下属各电厂的月度购煤量和周度库存计划水平。月度购煤量应在月内完成履约。受运输时滞影响，电煤在月内各周分批供应至电厂，如图1所示。

图1  月内供煤、耗煤和库存示意

Fig.1  The illustration of supply, consumption and inventory of coal within a month

4）模型中考虑的第1个不确定性因素为电厂周度耗煤量。尽管发电企业根据发电计划预测了的各周发电量，但由于用电量、可再生能源发电量具有不确定性，在可再生能源优先接纳的背景下煤电发电量是随机的。假设发电企业的电厂i在第m月第w周按照计划发电量折合消耗标煤d_imw万t，发电企业所有电厂总的偏差比例为η_mw，即实际所有电厂总消耗(1+η_mw)∑_id_imw万t，将总偏差量按照电厂计划电量的相对比例分到各电厂，各电厂实际耗煤则为(1+η_mw)d_imw。5）模型中考虑的第2个不确定性因素为运力，用周度电煤接收量占月度购煤量的比例表征。电厂i在第m月第w周能够接收到m月购煤量的计划比例为v_imw（按月履约情况下有∑_wv_imw=1），但由于输煤通道短时故障、检修或计划调整，偏差比例为ξ_imw，因此实际比例为v_imw+ξ_imw。考虑到故障修复和协调运力通常能够在月尺度内完成，为保证按月履约，仍有∑_w(v_imw+ξ_imw)=1。6）不确定因素导致实际库存偏离计划库存。测算各月各周实际库存时，仅考虑本月内的不确定因素，上个月月末实际库存按计划水平考虑。7）模型中仅考虑一个煤种以重点突出方法。不同电煤供应商的电煤发热量存在差异，库存采用标煤作为单位，购买的电煤折算为标煤单位后计入库存。因此所提出方法实际上可以对不同煤种、煤质建模。1.2  目标函数

某发电企业共下属i个电厂，当其购煤决策对煤价产生影响，第m月购煤价 pcm 是发电企业总购买量的增函数，市场供给函数用二次函数可表示为

式中：B_im为电厂i在第m月的购煤量，假设电煤供应边际成本递增，a_m、b_m和c_m大于0，因此供给函数是凸函数。模型目标函数是最小化发电企业的总成本，可表示为式中：为m月的单位库存成本，包括利息、堆煤成本等，是常数；S_imw是电厂i在第m月第w周末的计划库存，是决策变量。1.3  约束条件1.3.1  确定性约束模型的确定性约束包括库存时序耦合约束、购煤量上下限约束等。1）计划库存时序耦合约束。各月第一周与上月最后一周库存的耦合关系为各月其他周则分别与其前一周库存的耦合关系为式中：r为购买电煤按发热量折算标煤，若购买的是5500 kcal（23027 kJ）煤，则r为0.786。2）购煤价合理区间约束为式中：分别为煤价的上、下限。3）由于资金周转、运力等限制因素，电煤采购量约束为式中：分别为购煤量的上下限，均为正数。4）计划库存安全约束为式中：为最高库存；为安全库存。安全库存用于应对难以在模型中量化的不确定因素，如突发事件、安全事故等，是安全缓冲天数对应的耗煤量，可表为式中：ω为安全缓冲天数；为折合标煤后的日均耗煤量。5）年末库存约束为式中：S_i,12,4为全年最后一周周末的库存量；S_i,end为年末库存最低水平。由于发电量和运力是不确定的，各周的实际库存是随机变量。基于模型假设，电厂i在第m月第w周末的实际库存为1.3.2  不确定性约束模型的不确定性约束是使得m月w周的库存超过最大库存、低于安全库存的概率低于ε。1）实际库存超过最大库存的机会约束为2）实际库存低于安全库存的机会约束为式中：{ }为计算概率。1.4  数据驱动的机会约束实际运行中，机会约束中随机变量的真实概率分布是未知的。为解决这一问题，通过收集随机变量的历史实现值或采用场景生成技术^[16-17]得到的模拟值，构建随机变量的样本数据集。每个样本即代表随机变量一种可能的实现，然后用样本集的经验分布取近似真实分布。以机会约束式（11）为例，其中随机变量为ξ_imk和η_mk，分别构建包含N个样本数据的样本集用经验分布和近似ξ_imk和η_mk的真实概率分布，表示在处取值为1、其他处为零的狄拉克函数。机会约束式（11）进一步可改写为式（13）中{ }内“≥”的左边含有随机变量，右边则不含随机变量。可以将式（13）写成简洁的表达形式，构建随机变量ζ和λ分别为相应地，基于Ф_ξ和Ф_η，有ζ和λ的样本集Ф_ζ和Ф_λ，其中第n个样本构建变量q、x为机会约束式（13）写成简洁形式为需要注意的是随机变量为ζ和λ，决策变量为q、x，难点是有q和ζ的乘积。机会约束式（12）按同样方法也可简写成式（18），后面讨论式（18）的求解方法。

建立的发电企业电煤采购与库存优化模型中，决策变量为{B_im、S_imw}，但是目标函数中存在非线性的变量乘积，机会约束也无法被已有优化算法直接求解，将模型转化为可被线性规划算法求解的形式。

2  求解方法2.1  目标函数的变量替换

模型目标函数式（2）等价为

引入表示m月所有电厂的购煤量总和，即并将式（1）代入式（19）可得其中比较难处理的是的三次项和二次项之和，为此可以利用凸函数的特点，对其进行分段线性化。令是由低到高的J+1个等间距固定取值。特别地，分别为的最低值和最高值由此，目标函数式（21）可近似为式中：y_m为引入的辅助变量；α_mj和β_mj分别为线性分段j的斜率和截距。这样就用J段线性分段来近似非线性项，目标函数转化为线性形式。2.2  机会约束转化为条件风险价值约束由文献[17]中定理10，机会约束式（18）中随机变量(qζ–λ)的条件风险价值为式中：τ为引入的实数变量；E_P[ ]计算在随机变量真实概率分布P下的期望；( )⁺表示取正数，若括号内为负数则为0；inf表示取下确界。若用随机变量ζ和λ的经验分布（基于样本集Ф_ζ和Ф_λ构造）近似真实分布，则条件风险价值的近似值为基于文献[18-19]的成果，将机会约束式（18）转化为条件风险价值约束，即将式（27）代入式（28），即为引入N个辅助变量g_n，式（29）等价为式（30）虽然得到了机会约束的线性形式，但这是不可扩展的，由于约束式（31）和辅助变量（g_n）的数量取决于样本数据的数量，样本数据数量急剧增长会增加建模和求解的复杂程度。2.3  条件风险价值约束的分段线性近似令式（28）中“≤”左边表示为决策变量q的函数f(q)，即结合式（6）（16），机会约束式（11）对应的q＞0，而机会约束式（28）对应的q＜0。由条件风险价值的性质和凸函数定义，可以证明f(q)是凸函数。

在q的可行域[q_min,q_max]上等间距取H+1个固定值分别采用式（27）计算类似于成本函数的分段线性化式（22）（23），可以用线性分段（红色实线）近似函数f(q)（蓝色点划线），如图2所示。

图2  f(q)的分段线性近似示意

Fig.2  Piecewise linear approximation of f(q)

这样，条件风险价值约束式（28）由略保守的替代形式表示为

其中式中：α_h、β_h分别为线性分段h的斜率和截距。

与式（30）（31）相比，式（33）的规模取决于线性分段数量，无论样本量是多少，模型规模都不变，因此模型是可扩展的。线性分段越多理论上对f(q)的近似效果越好，但通常远低于样本量的分段数量就能达到满意的效果。

3  算例分析3.1  算例数据

采用某包含10个燃煤电厂的发电企业作为测试系统，验证所提出方法的有效性。每个燃煤电厂的装机容量为400万kW，月最大购煤量为100万t，电煤最大库存、安全缓冲天数分别为40万t（标煤）、7天，供电煤耗为300 g/(kW·h)，各电厂初始库存为20万t（标煤），可用约14天，年末最小库存均为25万t（标煤），可用约18天。单位库存成本为1.5元/(周·t)。各月预测总发电量如图3所示，夏季7—8月和冬季1月、12月是用电高峰。

图3  各月预测总发电量

Fig.3  The forecasted monthly energy generation

为体现方法对极端情况的适应性，考虑电煤需求高峰时供应减少：7、8、12月份电煤处于需求高峰，市场对该发电企业最大、最小供煤量分别为700万、400万t，其他月份最大供煤量为900万t，最小供煤量仍为400万t。考虑运费、税费等成本，入厂电煤价格区间为[750,1000]元/t，假设市场供给函数中价格随总购买量线性增长，式（1）简化为线性函数，最高最低价格对应最大最小购买量。电煤热值为5500 kcal（23027 kJ）。月内购买量在各周平均运输到电厂，即v_imw为0.25。假设各周电厂的发电量偏差比例η_mw和运煤偏差比例ξ_imw是均值为0、标准差为5%的正态分布。根据假设的概率分布生成包含10000组样本数据的建模样本集用于构建机会约束，模型中没有直接用到正态分布假设，因此概率分布类型的假设对模型有效性没有影响。生成包含100000组样本数据的测试样本集，验证优化决策对于不确定性的适应能力。算例具体数据在文献[20]中给出。如不加说明，机会约束最大违反概率ε取为5%。模型参数J和H均为10。在Matlab环境下基于Yalmip工具包建模，求解器为Gurobi9.5，运行于一台8 GB内存笔记本电脑。3.2  对比考虑机会约束前后的电煤采购和库存决策优化结果

针对算例，采用本文提出的模型并求解后，发电企业各月购煤量和购煤价如图4所示，库存水平如图5所示。

图4  各月购煤总量及电煤价格

Fig.4  The monthly purchasing quantity and price of coal

图5  计划库存水平变化

Fig.5  The change of the planned coal inventory

不考虑机会约束式（11）（12），发电企业会在夏季来临前的6月将库存补满。夏季7—8月电煤供应有限、价格较高，降低夏季购煤而消耗库存，导致夏季库存持续走低，8月末低至安全库存水平。9—11月增加购煤为冬季做准备，库存逐渐上升。12月电煤供应减少、消耗增长，购煤量明显下降。购煤价最高点在11月（900元/t）、最低点在1—3月（825元/t）。由于不确定性，实际库存在6月有越上限、8月有越下限的风险。基于优化得到的电煤采购和计划库存决策，采用测试样本集模拟实际库存，所有100000组样本下均发生了电厂库存越限事件。考虑机会约束后，发电企业减少了4月、5月购煤，因此6月总计划库存水平达到350万t，较总最大库存低50万t，降低了库存越上限的风险。同时即使夏季电煤价格较高，仍加强夏季购煤，因此8月、9月库存水平有明显提升，最低库存提高50万t，可用10天左右。因为夏季维持了一定的库存水平，9—11月补库存的力度减弱，电煤价格相对较低。购煤价最高点在8月（897元/t）、最低点在1月、2月（825元/t）。考虑了实际库存的最高最低机会约束后，计划库存需要在最高库存的下方以及安全库存的上方留一定裕度，所以在夏季的购煤量较不考虑机会约束的情形更大，这会增加购煤成本。

求解模型后，可以在式（10）中代入变量最优解，测算实际库存水平的经验分布，校验机会约束式（11）和（12）中越限概率是否满足低于5%的要求。校验后发现所有机会约束都能够满足，因此机会约束都是有效的。图6为以序号为1的电厂在6月第3周和8月第4周末的库存水平为例的校验结果。

图6  通过实际库存水平的经验分布校验机会约束

Fig.6  The chance constraints checked by empirical distribution of the actual inventory

考虑机会约束情况下，发电企业全年总成本600.4亿元，其中购煤成本598.5亿元，库存成本1.9亿元，总成本较不考虑机会约束的情形（598.7亿元）高出0.3%，主要由购煤成本上升拉动。这是因为提高安全性是以经济性为代价，但可见成本上升幅度有限。3.3  机会约束分段线性近似的效果

为验证本文提出的CVaR约束分段线性近似方法的效果，表1对比采用和不采用近似方法两种情况下的模型优化总成本和最优决策。

表1  机会约束分段线性近似方法的效果

Table 1  The performance of the piecewise linear approximation method for chance constraints

当样本数高于2000时，在不采用近似方法情况下Matlab提示内存不足，模型无法建立。这是因为样本规模大，约束式（30）（31）以及其中辅助变量的数量过多。采用近似方法后，模型规模只取决于线性分段数H，具有可扩展性，10000组样本建模仅耗时0.4 s，求解1.6 s。从式（33）和式（30）（31）的对比看，前者规模较后者降低了1000倍，所以建模快、求解快。为对比2种情况的精度，样本数降至100。2种方法下的模型目标值相差1万元以内，可以忽略，购煤和库存决策基本一致。验证了本文所提近似方法能够在降低模型规模的同时保证较高的精度。3.4  不同煤价波动情景下的优化结果以上算例分析中均采用发电企业是煤炭市场价格影响者的假设，通过式（1）对煤价建模。部分中小型发电企业作为煤炭市场的价格接受者，煤价是模型的常数。为验证本模型对该种煤价建模方式的适应性，设计了某地区2022年实际电煤到厂价和未来某年预测的电煤到厂价2种煤价情景，分别建立电煤采购和库存优化模型并求解。

2022年实际煤价情景下，如图7所示，4、5、12月煤价较高，这几个月的购煤量相对较少（见图8）。尤其是5月价格为全年第二高峰（仅低于12月煤价12元/t），5月购煤量低于4月的一半。这导致6月初库存水平出现大幅下降，如图8所示。因为夏季采取了严格的保供措施，6—7月煤价低于5月，所以在6—7月增加电煤采购，库存迅速回升。9月是全年煤价的一个低点，减少在价格偏高的8月的采购，库存下降后转而在9月增加采购，从而节约了购煤成本。

图7  某地区2022年实际和未来某年预测的电煤到厂价

Fig.7  The actual prices in 2022 and predicted prices for a year in the future of electric coal in a region

图8  两种煤价情景下优化后的逐月购煤量

Fig.8  The optimized monthly purchasing quantity of coal under two coal prices

随着煤炭保供政策效应持续显现、产能有序释放，预测的未来某年电煤到厂价总体平稳波动，夏冬季价格略偏高，如图7所示。由于月间煤价的波动比2022年实际煤价情景小，月间购煤量波动也相对较小。在煤价较高的1月、8月、12月降低采购，再在煤价较低的2月、10月增加采购提高库存水平，如图8、图9所示。此情景下全年的库存变化逻辑与图5中的类似，可以参考前面的分析。

图9  两种煤价情景下优化后的计划库存

Fig.9  The optimized planned inventory under two coal prices

4  结论本文针对考虑不确定性因素的发电企业电煤采购及库存优化问题，以最小化电煤采购和库存成本为目标，提出了基于数据驱动机会约束的优化模型和求解方法，通过算例验证，可以得到以下结论。1）模型不需要假设不确定性因素的概率分布，并将电煤库存越限风险约束在了允许范围内，验证了机会约束的有效性。2）提出的条件风险价值约束分段线性近似方法能够使模型具有可扩展性，降低模型规模的同时保证较高的精度。3）模型同时适应发电企业作为价格影响者、接受者两种煤价建模方式，得到的电煤采购和库存优化决策在满足安全库存约束的条件下，在煤价低位增加采购，在煤价高位减少采购。下一步的研究可以深入研究煤炭市场交易对库存模拟的影响，如考虑各主体间博弈、期货交易。（责任编辑　李博）

作者介绍

姚力（1991—），男，博士，高级工程师，从事电力供需分析、电力需求侧管理等研究，E-mail：[e-mail];

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郑海峰（1981—），男，硕士，高级工程师，从事能源电力规划、电力需求侧管理等研究，E-mail：[e-mail];

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单葆国（1971—），男，通信作者，硕士，高级工程师（教授级），从事能源经济模型、电力市场分析预测、电力需求与经济发展关系、电力需求侧管理等研究，E-mail：[e-mail].

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编辑：于静茹

校对：王文诗

审核：方彤

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