数学家写的《爱丽丝漫游奇境记》中的数学
►1951年版动画片《爱丽丝漫游奇境记》
撰文 | 罗懿宸（清华大学科学技术与社会研究所硕士研究生）
责编 | 程 莉
● ● ●
《爱丽丝漫游奇境记》（Alice’s Adventures in Wonderland）的作者刘易斯.卡洛尔（Lewis Carroll），其实是我们所熟悉的一位数学家——道奇森（Charles Lutwidge Dodgson，1832-1898），刘易斯.卡洛尔是他的笔名。梅拉尼.贝利（Melanie Bayley）将道奇森分析为一位传统的数学家，对18世纪线性方程的解法和行列式，以及欧几里德几何学感兴趣，但是对维多利亚时期抽象的数学潮流感到反感，并且她认为《爱丽丝漫游奇境记》就是一部对当时数学发展的讽喻之作。
写小说的数学家
查尔斯.路德维奇.道奇森于1832年生于一个传统的英国家庭中，爸爸查尔斯.道奇森（Charles Dodgson，1800-1868）是一名传统的牧师，曾攻读下牛津大学基督教会学院古典学和数学学位，1825年娶了自己的表妹弗兰妮.路德维奇（Franny Lutwidge），生下了11个孩子。道奇森就是他们最大的儿子，前面有三个姐姐（下文道奇森都指C.L.道奇森）。道奇森从小在家接受爸爸严格的数学教育，以及妈妈对他文学和宗教的熏陶，一直到他11岁离开家去里士满念书，14岁升入著名的拉格比公学，他渐渐在数学方面表现出了很强的能力。1851年道奇森进入牛津大学基督教学学院学习数学，1855年获得了硕士学位，并获得了基督教会学院的数学讲师职位。需要注意的是，同年。亨利.利德尔（Henry Liddell，1811-1898）被任命为基督教会学院的院长，他便是爱丽丝（Alice Liddell，1852-1934）的爸爸。1856年，道奇森和利德尔家的三姐妹相识了。
在任教期间，道奇森教授欧几里德几何学，由于意识到其中的不准确和不一致的地方，他于1860年写出了对于欧几里德几何学前两本书的笔记，用以弥补这些不足。道奇森对代数，尤其是解方程，即行列式有专门的研究，1867年出版了《行列式初论》（An Elementary Treatise on Determinants），讨论了增广矩阵和方程组是否相容（即有解）的关系，提出并证明了道奇森定理。1870年出版了《代数公式和规则》（Algebrai Formulae and Rules）以及《算术公式和规则》（Arithmetical Formulae and Rules），同时继续研究欧几里德几何学，1979年写出小册子《欧几里德和他的现代对手》（Euclid and his Modern Rivals），讨论了第五公设不能从其他公设中推出的问题。虽然道奇森意识到了1830年间就萌芽的非欧几何学，但是他拒绝接受，并认为它们是和我们生活的几何世界无关的，1888年还发展了关于平行的新理论，用一条新公设取代第五公设，见图1。
►图1 道奇森的公设
除此之外，道奇森对于数学和推理基础的逻辑学也深有研究，1887年出版了《逻辑游戏》（The Game of Logic），并于1896年集合其对于逻辑学的思考，写出《符号逻辑，第一部：基础》（Symbolic Logic, Part I: Elementary），其第二、三部死后才被出版。在逻辑学上，他发展了下角数码标记法，也像维恩（John Venn，1834-1923）一样发明了可视化的逻辑图式，并用于分析三段论和复合三段论。
学术活动外，从1855年开始道奇森对摄影技术和摄影活动开始产生浓厚的兴趣，1856年买了自己第一台相机，并从此开始了其作为摄影师的一生。他为许多诗人名流拍摄人像，如罗塞蒂（Dante Gabriel Rossetti，1828-1882），丁尼生（Lord Alfred Tennyson，1809-1892）等人。他对年轻的小女孩和内衣尤其感兴趣，这也在他的摄影作品中体现出来。利德尔家的三姐妹经常成为他拍摄的模特，见图2。正如传记家所述，“如果道奇森没有写下爱丽丝系列书，他可能会作为一个杰出的摄影师被铭记，如果他也没有成为一个摄影师，他也可会作为一个数学家被铭记。”
►图2 道奇森拍摄的爱丽丝照片
值得一提的是，1862年7月4日，道奇森和其朋友鲁宾逊.达克沃兹（Robinson Duckworth，1834-1911），以及包括爱丽丝在内的利德尔家三姐妹乘船去伊希斯河旅行，这次旅行为其以爱丽丝为原型写的小说《爱丽丝漫游奇境记》提供了灵感和大纲。传记家对道奇森与爱丽丝的关系许多不同的猜测，但无论如何，道奇森和利德尔家的关系出现了裂痕，后来利德尔夫人拒绝了道奇森想要继续和三姐妹的旅行，道奇森和爱丽丝姐妹的亲密关系破灭。
《爱丽丝漫游奇境记》中的数学
在《爱丽丝漫游奇境记》中，爱丽丝因为追赶一只揣着怀表穿着背心的兔子掉进了兔子洞，因此进入了和陆上世界不同的光怪陆离的地下世界，遇见了许多奇怪的事物，如抽着水烟（hookah）的毛毛虫、变成小猪的孩子、微笑的柴郡猫、三月兔和疯帽匠等，经历了似乎不合逻辑、疯狂的历险。书中爱丽丝的身体在一天内从3英寸变到9英尺变来变去，甚至在吃了毛毛虫身下的蘑菇后，身体还会进行不等比例的变化：
“‘多么奇怪的感觉呀！’爱丽丝说，‘我准是变成望远镜里的小人啦。’…她又吃起来，很快就把那块蛋糕吃光了。‘真奇怪啊，太奇怪了！’爱丽丝喊起来，她惊讶得一时简直连话也说不上来了。‘现在我有方法了，就像最大的望远镜看到的人一样啦！再见吧，我的双脚！’
过了一会儿，她才想起手里还拿着那两块蘑菇呢，于是就开始小心地在这块上咬一点儿，在那块上啃一点儿，有时候长得高些，有时候缩得矮些，最后，她终于把身体调整到自己本来的大小了。”
而且在不断变化的过程中，爱丽丝多次在质疑“自己到底变成了谁？”这个自我同一性的问题，在吃了蘑菇脖子变得很长时，树上的鸽子也对爱丽丝说道：
鸽子提高声音，简直像是在喊，“…哎呀！该死的蛇！”
“可我告诉你，我不是蛇！”爱丽丝说，“我是一个…我是一个…”
“说呀，你是一个什么？”鸽子问道，“看得出你要编造个故事。”
“我…我是个小姑娘。”爱丽丝说。想起这一天经历过的种种变化，她自己也满心狐疑。
这一段体现了对欧几里德几何坚守的道奇森和非欧几何学发展之间的张力，欧几里德几何强调比例变化，相似、全等等几何关系，爱丽丝在吃下蛋糕的时候从3英寸到9英尺的变化就是这样的等比例变化，不过此时爱丽丝并没有全然质疑自己的同一性，还通过回忆日常世界的知识而确认自己；但是在吃蘑菇变化的时候，她的身体并不是进行等比例变化，而是任意部分进行任意的变化，这提醒人注意19世纪非欧几何、射影几何的发展，以及早期拓扑思想的起源。
由于18世纪分析学家的努力，分析数学在19世纪被大量应用于几何学的研究中，高斯就利用微积分的技巧建立了曲面和曲面三角形角度之和的关系，从而使得人们可以大胆放弃早已被质疑的平行公设，因为平行公设将推出平面三角形内角之和等于两直角之和的结论。在此基础上，到了19世纪20年代，罗巴切夫斯基（Nikolas Ivanovich Lobachevsky，1792-1856）和波尔约建立了非欧几何学，使得几何学更加推广和抽象。对非欧几何的分析离不开19世纪抽象代数的发展，在弯曲的曲面上如何定义测量，传统直觉的定义已经行不通，因此需要借助射影几何的思想。射影几何研究在投影下几何图形的不变的性质，这些发展就促使了拓扑学思想的发生。按照克莱因（Felix Christian Klein，1849-1925）所说，“拓扑所研究的是几何图形的那样一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意变形下保持不变，只要在变形过程中既不使原来不同的点融化为同一个点，又不使新点产生。”这一点在早期射影几何学家彭赛列（Jean-Victor Poncelet，1788-1867）的“连续性原理（principle of continuity）”中就有体现，彭赛列将此原理表述为：“让一个图形经历一系列连续变化，只要这些变化被限制使得这个图形的某些普遍的性质保持为真，那么这些性质也将会被每一个变化过程中的那些图形所共享。”
于是我们看在爱丽丝吃下蘑菇后，其脖子不断变长，被道奇森描述得像蛇一样，失去了作为“小姑娘”的特征，正是表现了他对当时射影几何和非欧几何发展的讽刺，体现其荒谬的逻辑结果。传达同样思想的线索片段我们还可以在公爵夫人家逐渐连续变化为小猪的小娃娃中看到：
“那孩子又哼了一声，爱丽丝不安地朝他望了一眼，看看出了什么事。只见他的鼻子向上翻的厉害，根本不像是个孩子的鼻子，完全是个猪鼻子，他的眼睛也变得越来越小…突然这东西又哼了一声，声音那么响亮，她吃了一惊，连忙扭头望去。这一次她没有看错：它实实在在是头小猪。她觉得，要是再抱着它走，可就太荒唐了。她把它放在地上，看着它平静地跑进树林，心里感到十分轻松。爱丽丝自言自语说：‘它要是个孩子，长大准丑的要命，可它是只相当漂亮的猪。’”
道奇森用描述公爵家的喧闹和潜伏戾气的场景，使得这一切显得荒谬和可笑，通过这样的方式表达对新近的几何学发展的不满。另一处能比较清晰看出射影几何在作品中的例子就是我们熟悉的柴郡猫的微笑：
“‘好吧’猫儿说。这一次，它消失得挺缓慢，先从尾巴开始，最后是嘴巴上的微笑，那个微笑在它的身体消失后很久才消失掉。”
在猫消失的过程中，无论身体的那部分消失或者变化，其微笑的嘴一直保持在原地不变，直到整个身子都消失不见还留在原地。这幅场景很好地还原了彭赛列的连续性原理的过程，却同时被道奇森描述得显得荒谬和奇异。
除了在几何学发展中的张力，爱丽丝的历险还影射出了道奇森与所处时代中抽象数学——尤其是抽象代数的发展之间的张力。如果说在非欧几何方面维多利亚时期的英国数学家收到法国、德国数学家的影响更大的话【当然英国还有赫赫有名的克利福德（William Kingdon Clifford，1845-1879）】，那么在抽象代数和逻辑基础的研究上，英国的数学家可以说是引领了世界的潮流：皮考克, 德摩根（De Morgan，1806-1871）, 布尔（George Boole，1815-1864）, 维恩, 哈密顿（William Rowan Hamilton，1805-1865）等著名的逻辑学家和代数学家都活跃在此时期。19世纪前代数学家的工作主要是解方程，而到了19世纪，尤其是19世纪的英国，以符号运算以及它与数学事实之间关系的新兴趣为特征。皮考克是这个代数变革运动的倡导者，他在1830年的《代数学》（Treatise on Algebra）中定义符号代数为“通过定义任意法则的方法研究任意标志和符号的组合的科学”。皮考克的思想直接影响了德摩根，后者深刻意识到代数的基础和代数法则不必基于算术法则，相信代数系统可以通过任意选择一些符号和建立这些符号的一套运算法则来建立，而不用参考算术法则，只要其后能解释这些法则之间的相互作用就行了。例如，假设符号M、N，+，以及M+N=N+M作为唯一的组合关系。
在这里我们如何通过这个符号建立一个有意义的代数呢？有几种方式：1）M和N可以是一些量，+表示第二个量加到第一个量的符号。2）M和N可以是数，+表示第一个数被第二个数乘…4）M和N可以是人，+表示前一个人是后一个人的兄弟…于是符号代数，或者说抽象代数，不再仅仅将代数运算建立在普通的算术法则上，也不再将运算基于实数或者复数上，而是更一般的抽象的符号代数，引进更抽象的结构用以统一表面上千差万别的数学领域。对比在第二部分介绍的道奇森的著作和工作我们可以知道他在代数领域主要感兴趣的还是传统的代数学，方程的解法，行列式的快速运算等。
在《爱丽丝漫游奇境记》中，确实有多处我们也可以看出他对在英国蓬勃发展的抽象的符号代数的讽刺。首先，在爱丽丝刚掉进兔子洞里，因为吃了蛋糕变得巨大后为了确认自己还是以前那个爱丽丝开始背起的“奇怪”的九九乘法表：
“我来试试看，以前知道的东西现在是不是还知道。我想想：四乘以五等于十二，四乘以六等于十三，四乘以七等于…啊，天哪！照这么背下去，永远也到不了二十啦！”
这确实是一张奇怪的乘法表，但是聪明的读者能很快发现道奇森在和我们玩变换进制的代数游戏。4×5的结果若是用18进制而不是10进制表示的时候结果确实是12，同理，4×6的结果用21进制而不是10进制表示的时候结果是13而不是24，4×7用23进制表示而不是10进制时结果是14…依此类推，也可以计算证明，在这个序列之后等于要使结果等于20的情况并不可能存在。道奇森通过这一种反直觉的方式呈现了出来。在另一处，道奇森通过写爱丽丝和疯帽子的对话，来体现他对不可交换的阿贝尔群的抽象代数的讽喻：
“‘我当然要说，’爱丽丝连忙回答道，‘至少…至少我说的就是我心里想的…反正是一码事，你知道了吧。’‘根本就不是一码事！’帽子匠说道。‘你还不如说，‘我看见我吃的东西’跟‘我吃我看见的东西’也是一码事呢！’”
在另一处，爱丽丝和仿龟的对话，道奇森通过故意拼错和改写加减乘除的单词词组，也体现了他对抽象代数定义的任意的符号运算规则的质疑和讽刺：
“‘我没有能力学它，’仿龟叹了口气说，‘我只学普通课程。’‘那是些什么课？’爱丽丝问道。‘当然开始是堵（读）和泄（写）啦，’仿龟回答道，‘还有不同的算术运算——假发（Ambition），剪发（Distraction），丑法（Uglification）和锄法（Derision）。’”
不过最令人觉得惊奇，且在《爱丽丝漫游奇境记》中最为脍炙人口的片段就是那场和三月兔、疯帽子和睡鼠举办的疯狂的茶会。这个茶会上只有三个“人”：疯帽子、三月兔和睡鼠，而且“桌子很大，可他们三个都挤在桌子的一角。”在爱丽丝和他们的对话中，茶会的有趣性质也显现了出来：
“‘从那以后，’帽子匠用悲伤的声调接着说，‘我要时间干什么它都不干了。它总是指着六点钟。’爱丽丝脑子里突然一亮，问道：‘这就是这儿摆了这么多茶具的缘故吧？’‘是啊，’帽子匠叹了口气说道‘时间总是停留在午茶时间，我们喝完茶，连洗这些茶具的时间都没有，只好没完没了地接着喝。’‘我猜，你们就这么连续不断地围绕着桌子转？’爱丽丝问道。‘对极啦，’帽子匠说，‘茶具用脏了，我们就往下挪。’”
时间、旋转和数字3，这些元素让人很明确地想起19世纪中叶维多利亚时期爱尔兰数学家、物理学家哈密顿，以及他发明的四元数（Quaternions）。哈密顿在发现三元数不能解释三位旋转而加入一个额外旋转项（extra-spatial term）之后实现了三维旋转，因此他对这一项的解释为：“像绝大多数维多利亚时期数学家，他认为这一项得代表着什么意义，因此在他1853年的著作《四元数讲义》中加了一条脚注，‘将这一项同时间概念联系起来在我看来是自然的。’” 不过，在每次旋转后我们得到的总是纯四元数，即这项时间项总是为0的，因此在道奇森的小说中，这个茶会总是被困在六点钟，茶会上的人不断在停止的时间之中绕着茶桌进行旋转。从现代群论的角度看，四元数所在群为S3群，四元数代表的三维旋转就是SO（3）。四元数集合形成了实数上的非交换的除法代数。哈密顿的代数是第一个不遵守皮考克和德摩根提出的规律的符号系统，它的建立消除了考虑不满足这些规律体系的存在问题，使皮考克所主张的自由构造成为现实。道奇森生动地将四元数的数学思想和过程描述在了爱丽丝经历的历险之中，显得荒诞和奇异。
至此，我们将道奇森《爱丽丝漫游奇境记》中体现维多利亚时期数学思想和数学知识发展的张力结合历史做了简要分析，表现了在非欧几何学和抽象代数的发展中带来的新奇有趣的思想。
参考文献
[1] 莫里斯.克莱因. 古今数学思想：第四册[M]. 邓东皋, 张恭庆译. 上海：上海科学技术出版社, 2002.
[2] Bayley, Melanie. Alice’s Adventures in Algebra: Wonderland Solved[N]. New Scientist. 16, Dec, 2009.
[3] Bayley, Melanie. Algebra in Wonderland[N]. New York Times. 7, March, 2010.
[4] Wilson, Robin. Lewis Carroll in Numberland: His Fantastical Mathematical Logical Life[M]. New York & London: W.W. Norton & Company, 2008.
[5] 维克多.J.卡兹. 董晓波等译. 简明数学史：第四卷近代数学[M].北京：机械工业出版社, 2016.
[6] Carroll, Lewis and Walker, E.B. Alice’s Adventures in Wonderland[M]. Indianapolis & Cleveland & New York: Hungry Minds, 2001.
[7] 刘易斯. 爱丽丝漫游奇境记[M]. 卡洛尔. 贾文浩, 贾文渊译. 北京：北京燕山出版社, 2010.
[8] De Morgan, Augustus. Trigonometry and Double Algebra[M]. London: Taylor, 1849.
[9] Carroll, Lewis. The Game of Logic[M]. London & New York: Macmillan, 1886.
本文节选自《道奇森和维多利亚时期数学》，
原载于《科学文化评论》2018年15卷2期，
《科学春秋》获授权转载。
制版编辑 | 程莉
本页刊发内容未经书面许可禁止转载及使用
公众号、报刊等转载请联系授权
copyright@zhishifenzi.com
商务合作请联系
business@zhishifenzi.com
在科学中寻觅历史
在历史中思索科学
微信ID：kexuechunqiu
投稿zizaifenxiang@163.com
长按二维码，关注科学春秋