罗建宇：二元（多元）函数的最值问题

写在文前

《二元（多元）函数的最值问题》是近年来江苏高考数学复习的热门专题，很多老师就此开设过示范课。在担任2012届高三教学时候，我第一次以此为课题在张家港市高三数学教研活动中开设公开课。

从2012年至今，除2013-2014学年担任高一教学外，六次以此为课题在本市上课或在外讲学。虽然每次内容有所不同，但“基础训练”基本没变。

2012届高三公开课教案（2013届亦使用，时任教暨阳高级中学）

（2015年至今使用，历任教张家港市教研室、沙洲中学）

我看“基础训练”

我一直提倡高三复习课中由小题带动知识和方法的复习，再配置典型例题评析或变式训练，以获得知识和方法的全面复习及网络建构（若是二轮复习，相对侧重于解题策略的提炼）。在课堂教学中，选题越少越好，用少量的题带动知识和方法的全面复习，不仅给教师选题是考验，更是为更好地提高学生的思维水平和学习获得量。为此，基础训练宜选择2-3道经典小题，其涉及的知识和方法不仅涵盖本节的知识，更要是后续典型例题（或题组）所使用的，这样所选的例题才能使得方法得以巩固和深化，选题才能做到精当。当然，也要根据授课学生实际学情保证“基础训练”的基础性。

我最喜欢的一道基础训练题

专题《二元（多元）函数的最值问题》的基础训练中，我最喜欢的是第一道小题。下面先看他的解法。

这五种解答方法不仅涵盖了处理二元函数最值问题的常用四法（解法四、五合并为构造法），它们更覆盖了江苏高考八个C级要求中的六个（不涉及等差数列和等比数列），分别是直线的方程、圆的方程、两角和与差的正余弦公式、基本不等式、一元二次不等式、平面向量的数量积等。这就不仅仅是一题多解，而是用小题带动了诸多知识（且是核心知识）的复习，因此它是一道好题，故而，每每教授至此，不得不用它。这与江苏省特级教师、苏州市高中数学教研员吴锷老师在苏州中学执教《一个三角形面积问题的激活与串讲》的课题有异曲同工之妙（点击文末“阅读原文”可查看吴锷老师的教学视频）。

2014年浙江省高考数学的一道填空就是这个问题的变式，教学中可作为这道基础训练的练习（类似方法解答）。

说明一：基础训练2选用目的是多元函数的处理要将变量减少，“降维”成一元或二元函数处理。（1.二元变一元是常用处理方法；2.也有多元问题需构造几何关系，即数形结合解决的，如下示例）

说明二：后来增选基础训练3，是为了突出线性规划（特殊的数形结合），用线性规划解决二元（多元）最值问题的显著特点是条件是以不等式组的形式给出的，而目标函数具有明显的几何意义。

说明三：以上是我个人的不成熟想法，不当之处，请同行们批评指正！