方程的思想——从“韦达定理”谈起

引  子

方程的思想，是代数中一种重要的数学思想方法。它是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

从“韦达定理”说起

韦达定理就是对方程研究的一个重要结论。但不少同学只知道（一元二次方程的）韦达定理的内容，而忘记（甚至不知道）它是怎么来的！部分同学推导韦达定理依靠的居然是求根公式，这不得不让我为当前部分课堂的数学教育现状担忧！

由上，即可得一元二次方程的韦达定理，经过高中学习，可类比推广到一元n次方程的形式；对复系数方程，韦达定理依然成立。

高中数学学习导数后，研究了简单的三次函数图象和性质，对于一元三次方程的韦达定理，还是有必要了解的。事实上，这个问题，只要知道初中所学一元二次方程韦达定理的推导，并不难得到，完全可以作为初高中衔接学习的内容。

《重点高中数学衔接读本》（点击进入详细介绍）中，有一节专门论述了韦达定理及其应用，这一节开篇写到：

1615年法国数学家弗朗索瓦·韦达在其著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系.因韦达是最早发现代数方程的根与系数之间的关系,故人们把这个关系称为韦达定理.我们在初中阶段学习了一元二次方程的根与系数的关系:

三次方程的韦达定理应用

【2018届苏锡常镇高三数学第二次调研测试第19题第（1）②小问】

阅卷发现，本题得分不高，除第（1）①外，学生基本拿不到什么分数。上述参考答案，通过不断作差进而因式分解，达到降幂的目的，从而解出实数a，是高中数学常用的一种解法。下面用韦达定理求解：

我们发现，利用一元三次方程的韦达定理（使用时需推导），问题解决得很轻松，函数的三个零点与实数a，得到四个未知数四个方程，可解！更好地体现了方程的思想。

三角函数中的方程思想

临近高考，回归基础，如下一道题目，同学们不难解决。

由此，两角α、β的和（差）的任意三角函数值都可求！