换元法——从“2018届金陵中学最后一卷”一道复合零点填空题说起

编者按

换元法是中学数学解题常用的方法之一，换元的本质在于化简，它也是用以培育“数学抽象”这一核心素养的有效方法之一。利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径。

下文由新青年数学教师工作室苏州分站成员、张家港市常青藤实验中学颜波老师提供。颜老师常年担任高三备课组长，是苏州市高中数学命题研究与评价中心组成员，曾获江苏省高中数学青年教师基本功竞赛一等奖，2016-2017年度“一师一优课、一课一名师”活动“部级”优课。

从金陵中学最后一卷中复合零点填空题说起

前几天，看到网传“2018南京金陵中学最后一卷”，做了一下，对第12题印象尤其深刻。

这道题，涉及“复合零点”问题，是一个热点问题，也是一个难点问题。去年12月，在新青年数学教师工作室苏州分站的教研活动中，此类问题被列为2018年江苏高考数学中最可能被考查的问题之一。就此题，如果不用换元法，而分类讨论，去绝对值符号则非常繁琐，“小题大做要有度”，中（高）档小题宜采用巧的办法。

为了便于大家备考，再罗列几个典型的换元（复合零点）问题，供复习参考。

我所认识的换元法

换元法的关键是根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知量，达到以简驭繁、化难为易的目的。在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的，高中数学中换元法的常见类型有：三角代换、整体代换、“1”的代换等。在解题中，换元法主要用于求最值，解方程及解不等式。学习中，我们要努力掌握有关变换技巧，提高运用换元法解题的能力。

另外，无论针对哪一个层次的同学，运算要讲究算理（近几年高考的一个重要转变，数学运算讲究算理），用我们学习过的最佳方法，既快速又准确！不要只抓住一条路，花了时间还没有正确答案！谨防盲目运算，死于乱算！要淡定要冷静！

【2017年江苏高考第20题】

评注：去年这道高考题，从第二问起，如果不换元而“暴力”地算下去，无疑加大了运算量，可见，换元能真正地降低计算，本题运算过程中，还可将“a/3”进行换元，则更简捷！