任念兵：高中数学欣赏十五讲

引  子

任念兵老师编著的《高中数学欣赏十五讲》系华东师范大学第二附属中学系列校本课程教材之一，已由华东师范大学出版社出版，在各网络书城、新华书店有售（扫如下二维码进入购买链接），敬请关注。【链接：第1讲抢先看】

任念兵：中小学高级教师，上海市浦东新区骨干教师，全国高中数学评优课一等奖获得者，新青年数学教师工作室主要创始人之一。

本书介绍

前言

2014年，教育部颁布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，其核心是落实好立德树人根本任务，而制定“学生发展核心素养体系”就是其中的关键环节.具体到高中数学教育领域，如何培育学生的数学核心素养就成为当前数学教育理论界和一线教师们讨论的热点话题.

而当前的数学教学存在“重术轻道”的倾向：教师在日常教学中，重解题技能技巧的训练，轻普适性思考方法的概括，导致学生机械模仿多、独立思考少，数学思维层次不高；讲逻辑而不讲思想，强调细枝末节多，关注核心知识少，关注明确知识多，强调内容所反映的思想方法少，对学生数学素养的提高不利.

著名数学教育家张奠宙先生近些年来不遗余力地提倡在课堂教学中引导学生进行“数学欣赏”，既注重欣赏数学的人文意境，又突出理解数学的理性精神，最终的目标指向是培育学生的数学素养.笔者学习相关理论，探索注重内容联系、突出核心素养的高中“数学欣赏”校本课程的开发与实践，取得了一定的教学实效.

一、“数学欣赏”校本课程的理论探索

张奠宙认为数学欣赏的教学设计，应从真、善、美这三个层面加以展开.数学的“真”，是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的，需要教师有意识地启发、点拨、解释，才能使学生领悟形式化表达的背后掩盖着的思想方法和文化底蕴，既讲推理又讲道理.数学以独特的方式为人类文明的发展服务，这是数学“善”的表现，需要在教学中通过建立数学模型来体现数学的应用，揭示数学概念的内在本质、数学定理（公式）的应用价值以及数学思想体系的深远意义.“美”，包括外在美和内涵美，体现数学思维内在之和谐，欣赏数学的美需要数学思想的揭示和数学意境的营造.

高中数学课标修订组组长史宁中教授认为，数学教育研究的基本研究单位是知识团，即具有明确逻辑关系的知识点的集合.对于数学的内容，很难通过一节课或一个知识点就把数学的本质表述清楚，只有把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计，才能在关注知识技能的同时，认真思考数学的本质、体现的数学思想，培养学生的数学核心素养.

人民教育出版社“主要国家高中数学教材核心概念、技能及重要思想方法的比较研究”课题研究指出，国内外的高中数学教材都是围绕着核心概念展开的.在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系，我们称这些概念为核心概念.把握住数学的核心概念（包括重要的子概念），就抓住了数学知识的根本，掌握了知识增长的源泉.课堂教学应紧紧围绕某些核心概念（或重要子概念），数学欣赏的关键就是欣赏数学核心概念.

在上述理论观点的指导下，笔者确定了基于数学核心概念开发“数学欣赏”校本课程的基本思路.

1.以若干专题的形式来编写教材

以若干专题构成教材，不苛求知识的系统性，以点带面地引导学生欣赏数学的“真、善、美”.由于数学学科独特的结构性、某一知识的单薄性就决定了不可能就某一个知识点开发出揭示数学“真、善、美”的丰富的数学欣赏的素材来，而是要统整高中数学学科的知识内容，将零散的学习内容集中起来进行专题开发，放大某个数学本质，凸显某种数学价值.而鉴于“核心概念”在教材体系中的重要性，每个专题都应紧紧围绕着某个核心概念（或重要子概念）.

2.按照结构化原则组织内容

张奠宙先生倡导的数学欣赏，都是把学习过的教学素材按照研究的主题（核心概念）集中在一起让学生重新欣赏，为了在这种复习中提升对相关主题的认识层次，避免简单地炒冷饭，就需要对选择的教学素材进行适当的组织.按照结构化原则编写教材，关键是要加强概念之间的联系.具体地说，每节课都围绕一个中心论题（核心概念或重要子概念）展开教学，将概念组织为具有层次性、立体化的结构体系，精心组织相关的数学素材，使相应的核心概念（及其反映的重要思想）成为一个有机整体，使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列，从而形成功能强大的数学认知结构，切实发展数学能力，提高数学素养.

比如，在欣赏“角”时，通过对空间中“线面角”“面面角”的两种理解(可以看成是“线线角”的最值、通过平面的法线可以转化为“线线角”)来阐述角概念的内涵，通过“有向角”来说明角概念的外延，通过直线的倾斜角与斜率的关系来认识角概念的多元表征.

3.揭示概念背后的理性精神

关于“数学的理性精神”没有严格的定义，常见的叙述有：数学理性是一种对周围的事物客观的、定量的看法，一种人们有理有据地推理、论证的思维，一种不迷信权威、坚持真理的精神.言必有据，永远不把所谓不言自明的定律视为必然，是理性精神的最自然而本质的体现.欣赏数学的理性精神，可以从提炼数学的思想方法的过程中去领悟、体会.

在教学中再现数学概念发生发展过程中的火热思考，可以运算、函数、距离、角、向量等核心概念为贯穿数学教学过程的“灵魂”，通过数学欣赏，将数学的学术形态（形式化的演绎体系）转换为学生易于接受的教育形态，揭示贯穿数学知识体系中的数学思想方法.具体的形式有：深入挖掘，直接揭示；内容展示，归纳提炼；回顾总结，自我感悟.

比如，在欣赏“方程”时，提出“二分法求根”中蕴藏着存在性和逐步逼近的思想；在欣赏“有向度量”时，归纳各种有向性概念的表征，可以发现“有向”实际上体现的是概念抽象统一的价值；在欣赏“无限”时，通过全方位梳理教材中的无限（无穷）的概念、现象等，感悟有限与无限的思想.

二、“数学欣赏”校本教材的内容开发

数学欣赏素材的收集和欣赏专题的开发是设计数学欣赏的根本.笔者梳理了上海高中数学教材中的所有内容（主要是代数和几何，部分内容涉及导数知识），选取了背后蕴藏着丰富的数学思想方法和数学欣赏素材的若干概念，依次开发了数学欣赏十五讲.

1.数学欣赏专题的确定

本课程开发的数学欣赏专题中，除第1讲是总论外，另外14个专题分别为：对数、方程、向量、周期性、单调性、最值、距离、角、对称、有向度量、二项式、运算、不变量与不变性、无限.选取这些概念作为专题，主要由于这些概念具有很强的生长性，是贯穿某些知识模块的逻辑主线，深入理解这些概念对提升学生的数学素养具有重要价值.

从选取的概念在概念体系中的地位来看，向量、距离、角、运算等在高中阶段充当着核心概念的角色；二项式定理是重要的代数恒等式，周期性、单调性、最值是函数（数列）的重要性质，方程反映着代数的原始意义，对数与运算、函数两大核心概念相联系，所以它们都是重要的子概念；而无限、不变量与不变性、对称、有向度量等在初等数学和高等数学中都是极为重要的概念.

从选取的概念在高中数学教材中出现的位置和频数来看，这14个专题可以分为三个层次：围绕比较单一的概念，比如对数、方程、向量、二项式、周期性、单调性、最值；涉及某个知识团或者模块的概念，比如无限、距离、角；贯穿整个高中数学的概念，比如对称、有向度量、运算、不变量与不变性.数学欣赏的重要维度是联系，上述三个层次将欣赏从“孤立地欣赏某个概念、某个定理”的较低层次，逐步推广到“结构化和系统化的层次”.

2．数学欣赏素材的选择

围绕着某个核心概念，本课程主要从本源性问题驱动、数学内在逻辑建构两个视角切入来选择素材，除此之外，还注重促进西方数学与中华文化的交流与整合.

首先，对于构造性强、思维跨度大、方法创新程度高的教学内容，可以让学生欣赏数学的探索发现的过程，通过概念发生发展历史中的关键节点，了解数学概念经历的由“火热的思考”到“冰冷的美丽”的演变过程，促进学生的数学理解，发展数学能力.比如，在欣赏“对数”时可以介绍对数发展史的关键节点.

其次，数学欣赏要引导学生学会数学地思考问题，充分挖掘数学的内在力量.一方面是对选取的概念进行系统的剖析（内涵、外延、各种表征），一方面是选取与概念对应的“好题”，通过解题帮助领悟核心概念所蕴含的数学思想方法.

最后，如何看待中国传统文化的现实意义，是当前的一个理论热点.我国当前基础教育阶段的数学课程，并非中国古代数学的延伸，而是全盘从西方引入的.因此，将西方数学与中华文明进行适度整合，从中华文化的角度来诠释西方数学，是一项值得思考的课题.比如，在欣赏“无限”时，笔者列举了与数学中研究“无限”的方法有意境相通之处的若干名句.

需要特别强调的是，校本教材中各专题紧紧围绕高中数学教材中的核心内容，大部分素材都取自教材、高考题（竞赛题）等，只在数学发展史、人文意境等方面适当补充其他材料.

3．数学欣赏案例的设计

在数学欣赏各专题的案例设计中，问题要有挑战性.在信息时代仅靠一些小故事难以吸引学生，学生们通过网络都能知道，而且不同层次的学生对素材的敏感度也不同.因此，在具体问题的设计上，可以从数学发现的历程、数学研究的脉络、数学问题的延拓等方面设计问题，整合素材.比如，欣赏“最值”时可以对比数学、物理两种思路在处理最值问题中的差异，激发学生探究、欣赏的欲望.

另外，在欣赏概念的人文意境时，需要加强数学与文学、历史的沟通，成语、谚语、古代经典著作中的名句等都是数学欣赏可资借鉴的材料.比如，在欣赏“周期性”时可以介绍明朝皇族姓名中的周期性现象，增加学习的趣味性.

三、“数学欣赏”选修课的实践与反馈

近三年来，笔者一边搜集素材、开发欣赏专题，一边尝试开设校本选修课.学校对每门选修课的选课人数设置了上限，每学期选数学欣赏课程的学生数都达到了上限，说明此类课程颇受学生欢迎.

每学期课程结束时，笔者都向学生发放调查问卷，收集有关校本选修课教学内容、学习评价方式等方面的反馈信息，并根据学生反馈对课程做相应调整.

1.课程开设时机

许多数学概念和数学思想，刚开始接触时没有办法说透，真正的欣赏是在基本的理解和掌握的基础上才会产生的.从这个意义上说，数学欣赏，是在基本理解的基础上做进一步的深入理解.所以，数学欣赏选修课应在大部分高中数学内容已经学完的条件下开设，考虑到一线教学的实际，高二第二学期最为适宜.在校本教材编写时，涉及高二第二学期知识点的内容尽量放在课程的后面几讲，大致配合必修课教学的进度，这也是校本教材中专题顺序的编排依据.

2.课程教学内容

在本课程开发的过程中，笔者根据学生的反馈不断调整校本教材的整体框架和专题内容.在第一期教学中，笔者曾想覆盖高中数学的所有主干知识模块，但根据某些模块开发的专题不够吸引学生，比如“欣赏三角”可以与物理中的波、高等数学的傅里叶级数联系起来，但是不适合高中生，能够融合进该专题的素材不是很多，学生反馈这些素材中只有一些感性的评价、缺乏有深度的相关问题.这些被学生评价所“否定”的数学欣赏专题最终都被舍弃.

在近三年的教学实践中，根据学生的各种反馈，笔者最终确定了教材编写的基本框架，即围绕某些核心概念（或重要子概念）开发数学欣赏专题，以点带面地引导学生进行数学欣赏；确定了内容开发的基本思路，即按照一定视角选择素材、设计有思维挑战性的案例，通过适当地取舍，最终形成了现在的校本教材《高中数学欣赏十五讲》.

3.学生学习评价

数学欣赏可以在数学学习的任何层次上开展，而不同的知识层次和观赏力会产生不同的欣赏体验和效果.解读数学的人文意境，可以从情感上给予“重文轻理”的学生一些正能量，让数学变得更容易亲近一些.而欣赏数学思想方法和内在逻辑，可以通过回味、反思使得数学思维得到理性的升华，是数学优秀生的“饕餮大餐”.

因为不同的学生处于不同的欣赏层次，所以需要对学生在数学欣赏选修课上的学习进行开放的评价，这种开放性重点体现在考核方式上.笔者要求学生在学期末交一份作业（任选一种体裁）：写一篇数学欣赏的小文（可以是读书笔记、上课感受等）、编一道值得欣赏的数学题（可以是改编做过的一道好题）、做一个数学小课题（可以是通过数学建模解决实际问题）.学生反馈中最认可的考核形式是写篇数学欣赏小文.

4.教学实践效果

立足于高中数学教材内容的数学欣赏校本课程，对于“教”与“学”都是较大的挑战，其主要影响体现在提升学生数学素养、促进教师专业发展两大方面.

数学欣赏校本课程受到了学生的欢迎，从每学期课程结束后的访谈中，笔者感受到：数学欣赏教学立足于核心概念（或重要子概念），通过结构化教学，整合体现数学思想方法的素材，能够帮助学生对数学知识和技能进行系统化、概括化，系统化、概括化的结果就成为数学能力，而数学能力是数学素养在数学活动中的外化形式.所以，数学欣赏除了激发学生学习兴趣，改进学习方法外，还可以在一定条件下提高学生的数学素养.多位选修“数学欣赏”校本课程的同学，在笔者指导下做了数学小课题研究.2018届徐毓阳、唐泽辉等同学的小课题分别获得了“上海市青少年科技创新大赛”一、二等奖；2017届顾臻、杨悦然等多位同学撰写的数学欣赏小论文发表于《新高考》等省级刊物.

数学欣赏的案例，没有现成的设计，需要课程开发者通过学习和钻研，自己去发现和提炼，这对教师的专业素养提出了较高的要求.除了具有丰富的数学教学经验和扎实的数学功底外，还应具备一定的文史功底(包括数学史).笔者在近三年的课程开发过程中，不断阅读和思考、开发数学欣赏的案例，专业素养得到较大的提升，已经在《数学通报》（核心期刊）、《中学数学教学参考》、《教育研究与评论》等刊物上共发表“数学欣赏”教学研究论文11篇，其中2篇被人大复印资料《高中数学教与学》全文转载.笔者主持的上海市青年教师教育教学研究课题《高中数学欣赏校本课程的开发研究》获上海市教委教研室组织的课题评选二等奖.

在本课程开发和校本教材编写过程中，张奠宙、章建跃等先生通过面谈、邮件和微信等形式给予诸多指导，让我明确了课程开发的宏观框架和逻辑主线.在课题研究方面，浦东教育发展研究院的周宁医、胡少舜老师提供了很多方便和建议.在论文撰写方面，《教育研究与评论》编辑部的顾俊老师、《中学数学教学参考》编辑部的周倩老师不厌其烦地修改我的稿件，提升了我对某些相关问题的认识层次，在此向他们致谢！

    在教材编写过程中，我参考了不少前辈和同行们的已有研究成果和心得，重要的相关文献都列在“参考文献”中，在此一并向各位原作者致谢！

    由于水平有限，再加上时间仓促，虽然已经在极力避免，但书中不免仍有不少疏漏和错误，欢迎读者朋友批评指正.联系邮箱：[e-mail].

                                            任念兵                        2018年6月于上海张江