【教研成果】对隐含关系的挖掘与反思

引子

新青年数学教师工作室理事、江苏省常州高级中学杨元韡老师撰写的《对隐含关系的挖掘与反思——例析近年江苏高考对充分条件与必要条件的深度考查》发表在华中师范大学《数学通讯》2019年第3期上，现发布出来，供大家参考学习。

正文

“充分条件与必要条件”是现行各版本高中数学教材中的“常用的逻辑用语”一章的内容.在2017版普通高中数学课程标准中，删去了该章内容一些知识点，但仍保留“充分条件与必要条件”这一节内容，这从侧面体现出它有着不可替代的教学价值和教育功能.从2008年以来的十多年的江苏高考卷对“充分条件与必要条件”的考查，几乎都采用较为隐晦的方式融合在综合问题中，要求学生能从综合问题中先抽象出一些关系，再等价地转化这些关系.而等价地转化这些关系本质上就是考查“充分条件与必要条件”.下面列出学生在解这类综合题时常见的三种差错，并举例、分析与点评.

1.欲转化等价关系，却化得必要条件；

转化等价关系时仅仅得到必要条件是学生最常见的差错之一.这种差错往往比较隐蔽，不容易被发现.因此，在教学时要注重引导学生将条件等价地转化，认真地核对每一步的充分必要性，必要时还要将所求结果或者所证结论的进行等价地转化，使条件与结论两个方向同时转化，寻求它们的契合点.教学中如果遇到学生出现这种差错，应及时纠正，让学生体会差错所在，进一步体会“充分条件与必要条件”的价值.

2.欲探求等价条件，却觅得充分条件；

探求等价关系与转化等价关系有些差别，后者往往明确转化的方向，而探求等价条件往往不清楚转化方向，这就需要从具体问题中抓住本质要素，摒弃干扰信息，寻求所有符合条件的可能情形，必要时要需要有条理地进行分类，相对难度大，思维跳跃程度高．但部分考生探求等价关系时常常会漏掉情形，使得探求的条件为充分条件，思维上出现一些差错．下面举例说明．

 3.欲明确等价关系，却模糊于细微处；

由于某些数学对象、条件本身在形式上或表达上相似，但本质上有差异，一些对象或条件的等价转化方式会对另一些对象或条件的等价转化会产生一些负迁移，这也是在等价关系处理上会出现的差错．出现这种差错的原因，主要是思维的定势，将原先的经验直接应用到新的问题情境中，而没有关注到原先问题和新问题之间存在的细微差别可能会导致两者存在本质区别．

反思与感悟：近十年的江苏高考卷对“充分条件与必要条件”的考查几乎都是寓于具体的问题情境中，而不是采用直接考查的方式．用这样的方式考查这个内容，实际上对“充分必要条件”提出了相当高的要求，具体体现在：（1）在转化的过程中，每一步都要关注等价性，也就是题目中的条件与转化之后的条件是等价的，互为充要条件；（2）对某些转化中，直接转化比较困难，我们往往主动在寻找其充要条件，把能得到相应结论的所有可能的条件进行预设和判断，但偶尔还会出现“百密一疏”的情况，因此要不断地提醒自己“是否还有其他情形存在”；（3）对于某些数学对象是等价的转化，但对于另一些数学对象的类似的转化就未必是等价转化了，如果不比较两个对象之间的差异，盲目类比转化，很可能出现差错，这实际上是相关的数学方法产生负迁移的后果，应当竭力避免出现．

“充分条件与必要条件”的工具性是其重要的教学价值．在教学中，“充分条件与必要条件”体现着条件与结论之间的关系，教学的初始阶段可能会以类似于“a=0 是ab=0的什么条件”的简单形式呈现给学生．随着概念的逐渐明晰，“充分条件与必要条件”的考查要求会逐步提高．“充分条件与必要条件”与高中数学其他的知识进行整合，可形成比较综合的问题．在解决的过程中，“充分条件与必要条件”就承担了工具的角色，把复杂、陌生的条件通过等价地转化，转化成简单、熟悉的条件．在转化的过程中时刻注意条件的充分必要性，防止出现不等价的转化．

“充分条件与必要条件”除了具有一定的教学价值外，还具有较好的教育功能——培养学生严密的逻辑思维能力和缜密的科学态度．这在前面的几个例子的分析中已有所体现．学生在教师的引导下，若能常使用“充分条件和必要条件”来表达条件与结论的关系，有利于明确两者之间的逻辑联系，有利于提高自身的语义转换的能力，有利于增加解题中的有条理地表达能力的同时，还能减少不必要的逻辑错误．