【教研成果】为表达世界而建模——《指数函数》三次备课思考

写在文前

本期推送《为表达世界而建模》，该文于2019年8月在北京师范大学《数学通报》上发表。

本文作者简介：张玲玲，中小学高级教师，常熟市梅李高级中学德育处副主任，苏州市学科带头人，苏州市优秀教育工作者，新青年数学教师工作室理事、苏州分站副秘书长。多篇文章在省级以上刊物发表，多次在教学评比中获省、市级奖项，曾获全国高中数学评优课三等奖，全国中小学“学科德育精品课程”部级优课。

原文刊载

正文

为表达世界而建模

——《指数函数》三次备课思考

张玲玲

（常熟市梅李高级中学 215500）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《课标》）指出：“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识和方法构建模型解决问题的素养.”数学建模具有重要价值，它“是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.”虽然在过去的教学中，一些教师也关注到数学建模，但多数教师仅仅限于专题讲座或者对于特殊的教学内容在教学过程中加以体现，并没有把数学建模作为高中数学核心素养贯穿在日常的教学过程中.那么，如何结合具体内容的教学，以具体知识为载体，让学生经历数学建模过程，学习数学建模的方法，提升数学建模素养，进而养成用数学语言表达世界的思维习惯，这是值得深入研究的问题，也是教学观念的重大转变.本文结合《指数函数》的三次教学设计过程，对此作以探索.

1、关注载体，为获得知识而建模

指数函数是学生在学习了函数的概念、图象与性质后，学习的一个新的函数模型，也是运用研究函数的方法研究函数的一次实践．通过指数函数的学习，学生可以进一步深化对函数概念的理解，为研究对数函数、三角函数等其他初等函数打下基础.因此，指数函数的概念、图象、性质、运用等基础知识非常重要，这些知识既是进一步学习函数的基础，也是学生经历一次建立数学模型过程的有效载体.在第一次教学设计时，我们首先要梳理清楚指数函数的知识体系.

这些问题的解决，可以使学生获得指数函数的基础知识与基本技能，形成指数函数的知识结构，为学生后继学习与思考奠定基础.当然，知识、技能不是课堂教学的最终目标，而应是一种有效载体，让学生在知识、技能获得过程中，获得建立指数模型的方法，感悟用数学语言表达世界的观念，以实现数学教育的更大价值.目前一些教学设计，特别是一些“活动单”“导学案”“学案”的设计，都仅仅停留在知识、技能的获得层面，无论课堂教学过程中是否采取“探究”“合作”“交流”活动，实际上学生得到的只是“是什么”，快速到达“目的地”.这样的教学，貌似提高了学生的学习效率，其实对提升学生数学素养是不利的.

2、关注过程，为获得方法而建模

《课标》指出，数学建模的过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、改进模型、解决问题等.数学建模不仅仅是最后的数学模型，更为主要的是借助于日常的数学活动，以具体的教学内容为载体，让学生经历数学建模过程，学会数学建模的基本方法.指数函数是高中数学的一个典型的数学模型，借助于指数函数模型的建立过程，引导学生感悟数学建模的基本方法，是指数函数的重要教学目标之一.在第二次教学设计时，我们认真梳理指数函数的生成过程与学生的思维过程.

这些问题的解决，让学生从实际情境中发现问题、提出问题，先建立特殊的指数函数模型，进而得到一般的指数函数模型，并对其中的参数进行讨论，画出图象，探究指数函数的性质，进而用这些性质去解决一些简单的问题.在建立与研究指数函数模型的过程中，学生体会并获得建立数学模型的基本方法.同时，也获得相应的数学知识.这里的过程，既是数学建模的过程，也是学生思维的过程，只有让学生经历这样的过程，才能获得一般的研究方法，进而形成思考一类问题的思维习惯，学生不仅获得“是什么”，同时获得“怎么做”.

3、关注理念，为表达世界而建模

为了实现指数函数的教育价值，使指数函数成为学生研究函数一般方法与过程的典型案例、成为学生经历数学建模过程的有效载体，让学生在指数函数的学习过程中体验用数学语言表达世界、感悟数学与自然的紧密联系.在第三次教学设计时，我们重新思考，坚持培养学生数学建模素养的理念，对本节课的明线（知识）、暗线（过程与方法）进行重新梳理，有机融合.

2.建立模型，获得概念

问题2通过这几个函数，你发现了什么？

设计意图：引导学生从具体实例中概括典型特征，从“特殊”到“一般”进行抽象，建立指数函数模型，并尝试自己给出指数函数的定义. 让学生在建立指数函数模型过程中，学会用数学的眼光观察世界，再用数学的语言表达，进而培养学生数学建模素养.

3.研究模型，感悟方法

问题3怎样研究指数函数呢？

设计意图：引导学生回顾初中研究一次函数，二次函数以及反比例函数的研究内容和方法，从两个角度思考：

问题4指数函数具有哪些性质？

在探究性质这个环节，让学生小组合作，无论是从“数”的角度、还是从“形”的角度出发，都要注意“代表性”、“逻辑性”. 例如，在同一个坐标系中多作几个函数图象，进而“读”出指数函数的性质，再尝试进行简单的证明或者说明.

通过探究活动，使学生对指数函数的研究过程与方法有了深刻的认识．学生可以从“数”的角度去“读”，是对符号语言的理解，学生也可以从“形”的角度去“读”，观察图象，是对图形语言的理解，为以后研究函数模型乃至数学模型奠定方法基础．

引导学生经历从“特殊”→“一般”→“特殊”的认知过程，从合作交流、共同探讨中的氛围中，认识指数函数的概念、图象和性质，同时了解指数函数的实际背景和研究函数的基本方法；体会分类讨论思想、数形结合思想，增强学生识图用图的的能力.

4.运用模型，解决问题

5.回顾反思，提升素养

问题6我们是怎样研究指数函数的？

设计意图：引导学生回顾指数函数的研究过程：提出问题、建立模型、研究模型、运用模型.

进一步引导学生回顾每个环节：怎样在具体情境中发现问题、提出问题？建立数学模型的一般过程与方法是什么？怎样研究数学模型？怎样运用函数模型解决问题？

进而让学生感悟：研究指数函数的基本过程与方法，也是研究函数的一般过程与方法，为以后研究新的函数奠定基础．

本节课力图实现“为表达世界而建模”的理念. 首先是精心设计问题情境，让学生感悟数学是从自然世界中来，构建数学模型研究，再回到自然世界中去. 这样，既有助于增强学生的创新意识，又有助于增强学生的实践意识. 概而言之，建模意识和能力是在有价值的问题情境及数学应用情境中得到激发和培育的. 其次是注重数学建模过程，重视培养学生能从实际问题中建立数学模型的能力，学会用数学的眼光观察世界. 本节课的目的就是要呈现给学生一个比较完整的研究指数函数的过程，为以后其他基本初等函数的学习树立标杆. 换言之，在教学中，数学概念和原理获得过程的价值，远远超过运用它去机械解题的能力. 知其然，还要知其所以然，过程往往比结果更重要. 第三是培养学生的数学思维习惯. 数学建模是对现实问题进行数学的抽象，用数学的思维分析，用数学语言表达，用数学方法构建模型解决问题的素养. 数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式. 数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力. 养成良好的数学建模的思维习惯，有助于学生今后的学习和发展，也是培养创新性人才的必备素养. 不仅要获得指数函数“是什么”，而且以“是什么”作为载体，通过探究“是什么”的“怎么做”的过程，知道“为什么”.

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京：人民教育出版社，2018：18—20.