“圆锥曲线的统一定义”课堂实录

正   文

说  明

本课获2007年张家港市评优课一等奖，案例于2008年6月发表在《中小学数学》（高中）刊上。

原始设计及其反思和改进（即上述设计）

原始设计基本按照教材顺序完成。先复习有关概念并直接给出抛物线的新定义：平面内到一定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离之比等于1的动点P的轨迹，叫做抛物线。通过课件观察、猜想圆锥曲线统一定义，思考椭圆标准方程推导过程中代数式的几何异议并建立坐标系求解例1，进而建构圆锥曲线统一定义，最后解答三个有关圆锥曲线统一定义应用的例题。

这样的处理就将概念课最终上成了习题课，并没能揭示圆锥曲线统一定义的本质所在，不仅未能发挥学生的主体作用，就连教师的主导作用都不能体现。在概念的讲解中极其不自然，经不起问“为什么？”，对概念的产生、发展不能做出交待，必是一个失败的课堂教学案例。

为此，我们思考圆锥曲线统一定义的本质何在？如何对教材的信息进行加工处理。教学设计中，主要对教材进行了如下处理：其一，教课书本节开篇即给出抛物线定义为“平面内到一定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离之比等于1的动点P的轨迹”，其目的是引出圆锥曲线的统一定义。而事实上学生在此之前所学的抛物线的定义叙述为“平面内到一定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹”，那么如何过渡到教材上所叙述的定义呢？我的处理方法是从三种圆锥曲线定义中寻找他们的统一性，将“定比”统一到定义中的“常数”上去，实现“返璞归真，无中生有”；其二，教材以思考的形式引导学生回忆推导椭圆的标准方程过程，从中探索到定点距离与到定直线距离之比为定值所蕴含的关系，这种处理来得突然，给学生不知所措的感觉。根据学生的认知规律，类比抛物线方程推导，建立坐标系对“定比”不为1（小于1为例）进行探索，自然地发现此时轨迹方程为椭圆，这是个非标准方程，因为选取的坐标系不同而造成，但其体现了圆锥曲线定义的统一性这一本质所在，为得到标准状态下的圆锥曲线统一定义，再回忆推导椭圆标准方程，这样处理更自然流畅。

本课例按照学生的认知规律构思教学过程，让学生通过观察和类比，自我归纳总结出圆锥曲线中的统一定义，有效培养学生的思维能力，渗透了一些基本的数学思想方法，展示了数学的统一美和本质美，激发学生的自我探索精神和学习兴趣，增强学生对于数学创新原动力的认识，领会数学的美学价值，从而提高自身的数学素养和创新精神。

（此段撰写于十二年前，今拿出来共享，文字生涩，还望批评）