威腾：我像发现生命意义却苦于无法言诠的人

受访者简介：爱德华·威腾（Edward Witten）是美国理论物理学家，现任职于普林斯顿高等研究院，专长领域为弦论、量子引力，超对称量子场论。威腾在研究所之前曾修历史、语言学、经济，并短暂参与政治，最后进入普林斯顿大学应用数学所，最后取得物理学博士。他是弦论发展的主要领导人，启动弦论第二次革命，被誉为爱因斯坦的真正接班人。1990 年，威腾获颁数学大奖费尔兹奖，迄今仍是唯一位物理学家得主。

访谈者简介：大栗博司（Hirosi Ooguri）是加州理工大学的理论物理与数学的卡弗里（Fred Kavli）讲座教授，并为该校柏克（Walter Burke）理论物理研究所所长。他也是东京大学卡弗里数物连携宇宙研究机构（Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe，Kavli IPMA）的主要研究员。户田幸伸（Yukinobu Toda）是 Kavli IPMU 的淮教授，研究代数几何。山崎雅人（Masahito Yamazaki）是 Kavli IPMU 的助教授，研究弦论。

审定简介：贺培铭为台湾大学物理系特聘教授，专长为数学物理与弦论。

译者简介：翁秉仁为台湾大学数学系副教授。

2014 年 11 月，因威腾获得 2014 年基础科学京都奖而进行此次访谈。本文发表于 Kavli IPMU《所讯》（2014 年 12 月），并节译分上下两期发表于日本数学普及杂志《数学セミナー》（2015 年 4 月与 5 月），经受访人略做修整后亦发表于《美国数学学会会讯》（2015 年 5 月）。《数理人文》感谢 Kavli IPMU、大栗博司、威腾同意转载翻译，本译稿依受访人要求，使用《美国数学学会会讯》的版本翻译，刊登于《数理人文》第六期（2015 年）。媒体或机构如需转载，请联系《数理人文》微信号（math_hmat）。

采访中的威腾。（大栗博司提供）

大栗：首先要恭喜爱德华获得京都奖。基础科学部门的京都奖每四年会轮回数理科学领域，今年是第一次颁予物理学家。

是的，我非常荣幸获得这项大奖。

大栗：你在数学与物理交界处的研究，同时被视为数学与物理的重要进展，感觉真是美好，我们这些同领域工作的人都备感光荣。

事实上，我在几天前的颁奖演说中也曾特别提及，我将这个奖视为对这整个领域的肯定，而不仅只于我个人。

陈-西蒙斯理论的推广

大栗：这次访谈将会刊登于《数学セミナー》（Sugaku Seminar），同时也会发表在 Kavli IPMU 的《所讯》上。《数学セミナー》曾两次刊登你的访谈。1990 年，你在京都举办的世界数学家大会（ICM）获颁费尔兹奖，当时江口徹（Tohru Eguchi）曾经访问你，你也曾和当届另一位费尔兹奖得主琼斯（Vaughan Jones）讨论，我记得你当时表示想推广你在带着谱参数（spectral parameter）的陈-西蒙斯理论（Chern-Simons Theory）方面的研究，因为从可积模型（integrable model）的观点这是很自然的。

1990 年威腾获得费尔兹奖，《数学セミナー》刊登江口徹之访谈稿，此为部分扫描截图。

是的，我非常想从「可积性」的方向找到解释，希望能像易辛（Ising）模型一样，在二维晶格模型（lattice model）上找到确解。我完全失败了，不过几年前，科思特罗（Kevin Costello）基本上完成了我想达成的目标 [Co]。

大栗：刚才在你到达之前，我们也正在讨论科思特罗的工作。你认为他已经完成你当时所设定的目标了吗？

是的。可积模型有很多面向，没有单一的方法可以理解所有事情。但是我认为我想寻找的那种特定解释，正是科思特罗所发现的结果。科思特罗对三维陈-西蒙斯理论（Chern-Simons theory）做了一个简单而漂亮的转折，他将空间三个实数维度的其中之一，换成复数 z。

大栗：这样就变成四维了。

这是一个四维的世界，其中有两个实坐标与一个复坐标 z。科思特罗定义一个四维微分形式（4-form），这是陈-西蒙斯三维形式与一维形式 dz 的楔积（wedge product）。他将这个四维形式当作四维理论的作用量（action）来研究，其中关键的技术细节是这个理论若真要有意义，将运动方程式线性化所得到的微分算子，在模去规范群（gauge group）后必须是椭圆算子。我觉得这有点出人意表，但是事实如此。于是科思特罗推广了陈-西蒙斯理论，放弃三维空间的完整对称性，但是得到一个复变数 z。

如果仔细琢磨，你会发现杨-贝克斯特（Yang-Baxter）方程的可积性牵涉的是二维而非三维的对称性。我之所以一直无法整并谱参数，是因为我的问题脉络是三维拓扑场论。在三维拓扑场论里，除了结（knot）交叉的变动之外——也就是除了杨-贝克斯特关系之外，还牵涉到生成与消灭的关系，结的莱德迈斯特移动（Reidemeister move）虽然在三维拓扑场论正确，却和可积系统无关。由于我采用了拓扑场论的架构，所以找不到谱参数。科思特罗的简单转折，用复变数取代实变数，一切就漂亮完成了。我确定这就是我在 1990 年左右想找到却失败的解释方式。

由左至右为户田幸伸、山崎雅人、大栗博司、威腾。（大栗博司提供）

大栗：原来如此。所以在 23 年之后你的问题终于解决了。

1994 年你第二次访问京都时，刚完成赛伯格-威腾（Seiberg-Witten）理论与瓦法-威腾（VafaWitten）理论。记得当时在京都大学的数理解析研究所（RIMS）， 我们还有中岛啟（Hiraku Nakajima）曾做过讨论，当时中岛说明他如何以仿射李代数（affine Lie algera）作用在瞬子模空间（moduli space of instantons）的上同调群（cohomology）。在江口徹为《数学セミナー》所做的第二次访谈里， 你提及镜对称（mirror symmetry）与 S 对偶性（S-duality）当时的进展，并表示盼望能以更统一的观点，囊括规范场论与弦论来理解对偶性。我想，这个期盼在过去 20 年有一部分已经达成了。

确实有一部分完成了。其中之一是在第二次访谈之后几年内，弦论中出现了一幅非微扰（nonperturbative）对偶性的图象，推广场论已知的对偶性。不过，也有一些面向仍然保持神祕，大家还不太理解。

从正面看待，无论四维规范（gauge）对偶性、抑或更多低维对偶性，都源自某一个六维保角场论（conformal field theory），这正是我们能更理解对偶性的主要洞识。但我们还未彻底认识它，因为大家还不真正理解这个六维理论。不过光是知道对偶性必须以六维理论来解释，就已经是理解对偶性的一大进展，这在上次访谈时确实还不知道。

我曾经怀疑对偶性

户田幸伸（左）和山崎雅人（右）。（大栗博司提供）

大栗：我忘了介绍今天的其他与谈人。户田幸伸是数学家，他是 Kavli IPMU 的准教授，在 2006 年获得博士。山崎雅人是物理学家，是 Kavli IPMU 的新任助教授【译注：日本职衔为「助教」，不过为避免国情不同而误解，直译为「助教授」】，他是 2010 年的博士。他们代表了在弦论和规范场论领域做研究的年轻一代数学家和物理学家。

在京都奖纪念演讲中，你回顾了理论物理的职涯。你是在 1973 年就读研究所，当时渐进自由（asymptotic freedom）的理论才刚发现，而你第二次访日是 1994 年，并做了前述访谈，当时离你初为研究生大约 20 年。如今 20 年又过去了，所以我们应该试着赶上你职涯的第二个 20 年，回顾你在一些最重要进展中的思想。

我们刚刚谈了一些 1994 年访谈之后的发展，或许你可以再加详述，告诉读者，在过去 20 年内，你认为这个领域中最突出的成就。

主要的成就之一当然是理解弦论中的非微扰对偶性，让我们对于弦论有更开阔的认识。在 1994 年时，我们知道镜对称，以及其他从微扰弦论所得到的二维对偶性，当时我们才刚开始思考时空是否有类似的对偶性，也就是和二维对偶性类似的四维规范场论对偶性。在 1994 年时，如果说弦论中也存在类似对偶性的想法，那真的只是臆测。

当时在文献中有一些线索，1990 年代早期也发现一些新证据。影响我最深的是史瓦兹（John Schwarz）和沈恩（Ashoke Sen）的研究 [SS]，他们说明六维环面（torus）上杂弦（heterotic string）的低能有效作用量和一个非微扰 SL(2, Z) 对偶性相容，我不认为他们的结果是该猜想的决定证据，但是他们的想法很有说服力。

当时我还不清楚如何为时空的非微扰对偶性找出决定性的证据，至少对我而言，第一个这样的证据出自沈恩一篇简短却杰出的论文 [Se]，其中涉及 N = 4 超杨-米尔斯理论（super Yang-Mills theory）中的双单极束缚态（two monopole bound state）。对我来说，这是蒙东涅-奥立佛（Montonen-Olive）对偶猜想的根本新证据。它说服我对偶性必然正确，而且同样重要的，是它也让我相信存在着更佳的阐释。

大栗：我认为沈恩的论文提供了 S 对偶性的坚强证据，不过是你和瓦法（Cumrun Vafa）的论文说服了我们。

谢谢。沈恩的文章显示我们真的可以超越熟知电磁对偶性那种充满暗示却又有局限的论证方式，学习到崭新的东西。到沈恩的论文出现之前，我感觉我们所理解的电磁对偶性，甚至包括深刻影响我的史瓦兹与沈恩的结果，都不出 20 年前蒙东涅（Claus Montonen）与奥立佛（David Olive）所建立的框架 [MO]。但是，沈恩做了一个简单又精妙的计算，找到两个单极的束缚态，而且其存在性是出自对偶性的预测。这激发我相信我们还能走得更深入。

基于这份灵感以及想要寻找对偶性猜想的更多证据，瓦法和我开始研究瞬子模空间的欧拉示性数（Euler characteristics）[VW]。不难看出从超对称杨-米尔斯理论的电磁对偶性，可以推论出这些欧拉示性数的生成函数（generating function）应该是模函数（modular function）。我们很幸运，因为数学家在某些情况（包括你刚刚提到中岛启的工作）已经计算过这些欧拉示性数，或者早已得到紧密相关的结果，从而可以推出欧拉示性数。我们发现对所有情况，所期待的模函数结论都正确。（其中在复二维射影空间 CP² 上，我们得到所谓的「近模形式」（mock modular form）【译注：mock modular form 历史上首次出现于拉曼努真（S. Ramanujan）与哈代（G.H. Hardy）的知名通信里，1913 年拉曼努真在他临终给哈代的最后一封信中，写着 17 个这样的神祕函数并命名。大约 90 年之后，这个近似模形式的数学对象才被数学家严格厘清】，当时这对我们来说是新概念，但在后续的规范场论和弦论中经常出现。）

同时在这段期间，赛伯格（Nathan Seiberg）正以全纯性质（holomorphy）为工具，分析超对称规范场论的动力学，他希望理解 N = 2 的理论。于是我们开始讨论，而沈恩的文章启发我们思考对偶性所扮演的角色，这正是实际导致后来成为赛伯格-威腾理论的线索之一 [SW94]。

大栗：山崎或户田这样的年轻人现在可能很难相信，但是在 1994 年之前，至少对我而言，S 对偶性真的很难以置信，感觉就像一场美梦，有，当然很好，但是现实上你很难相信有可能发生这种事。就像我之前说的，沈恩的文章是证据，然后就某种意义来说，爱德华和瓦法的研究为之定调。此后，大家都相信了。

山崎：这很让人惊讶，因为我以为蒙东涅和奥立佛的文章已经很古董了，以前大家怀疑他们的想法吗？

你们可能会觉得很好笑，我要说说我自己和蒙东涅与奥立佛文章的早期历史。首先，在 1977 年底访问牛津之前，我根本没听过这篇论文。是阿提雅（Michael Atiyah）告诉我这篇文章，说我应该到伦敦去跟奥立佛谈谈。因此我读了文章，并和奥立佛联络安排去拜访他。不过到达伦敦时，我心里其实十分怀疑。你读过他们原来的文章吗？

山崎：读过。

他们原来的文章考虑的是某种规范场的玻色子理论，以及一个取值在伴随表现（adjoint representation）的实纯量场。他们假设纯量场的位能完全为零，然后推导出粒子质量的卓越公式，在这个特例里全然正确。而他们所提出的电磁对偶性，正是基于在他们的质量公式里，电荷和磁荷是对称的。

但是，量子场论我懂得够多，知道纯量场位能为零的假设，就量子力学来说没有意义，不然粒子物理学就不会出现规范级别问题（gauge hierarchy problem）。所以当我去伦敦见奥立佛时，我绝对是个怀疑者。不过既然我已经去拜访他，我不想只是跟他说他的想法是胡扯。我们想要理出一点道理，于是就在超对称的脉络中讨论，这单纯只是因为在超对称时，纯量场的质量重整化（甚至整个有效位能）可以为零。这是唯一的情境，我觉得蒙东涅和奥立佛的高明想法有可能成真。到了那天结束时，我们发现他们的公式在 N = 2 超对称中是成立的。因此我们写了一篇论文 [OW]，这篇文章写起来很惬意，不过我下错结论了。我的结论是不需要假设非微扰对偶性，就能解释他们的公式。

大栗：是，那正是我读你和奥立佛的文章的印象，超对称简单的解释了似乎是奇迹的现象。

所以不管是当时还是之后多年，我并不真觉得有那么多关于四维非微扰对偶性的证据。

回到山崎的问题，在那些年，我的确是怀疑电磁对偶性的存在。我的怀疑有两个层次。首先，我怀疑它是否为真；其次，就算它为真，我怀疑我们能对它说些什么。

为了完整起见，我再补充一些证据，在 1990 年代早期出现了一些奇特的线索，有一些来自像是德弗（Mike Duff）的工作，还有卡朗（Curt Callan）、哈维（Jeff Harvey）与史聪闵格（Andy Strominger）的论文 [CJS]，他们研究的是弦论中的孤子（soliton）；另外，当然还有前面提到的史瓦兹和沈恩的工作。我记得 1993 年在柏克莱举行的弦论会议中，史瓦兹感觉比我在 1984 年 1 月见到他时还兴奋。1984 年 1 月史瓦兹告诉我，他和葛林（Michael Green）最近的研究时，他跟我说：「我们很接近了。」 当时我并不知道他们接近的目标是什么。结果，原来他们再过几个月，就消除了异徵（anomaly）【译注：1984 年，葛林和史瓦兹对消了 I 型弦论的异徵，证明弦论足以描述基本粒子，并有资格成为万有理论（theory of everything），开启了第一代弦论革命】[GS]。所以当史瓦兹在柏克莱会议中又那么兴奋时，我决定这一次最好更严肃看待他的意见。

如果用面对蒙东涅与奥立佛文章相同的怀疑态度，你会认为史瓦兹和沈恩只不过在讨论低能物理，对于强藕合（strong coupling）行为则缺乏坚实的证据。不过史瓦兹的狂热足以消除我的怀疑，我开始更仔细的审视德弗以及其他作者关于弦论孤子的论文。我想大概是 1993 年秋天的某个时候，德弗送来一堆他的论文，我很认真阅读。现在，我无法完整记得那段时间读过的弦论孤子论文，不过其中很重要的一篇，当然是卡朗、哈维与史聪闵格合作的文章。

我应该说明这段期间的另一部分背景，德弗、汤森德（Paul Townsend）和其他研究超膜（supermembrane）的物理学家，在 1980 年代中期花了好几年，宣称比照基本弦的理论，应该也存在基本膜的理论。在当时，有很多原因让这个说法无法令人信服。首先，三维流形没有欧拉示性数，所以不像弦论可以做拓扑展开（topological expansion）；其次，三维理论缺乏保角不变量，无法帮忙建立有意义的膜论。膜论就像广义相对论一样无法重整化。

对于这个想法，技术反对的理由不绝于耳。但是就在 1990 年或 1991 年的某一时刻起，这个领域的人不再将膜想成基本物件，他们开始认为膜以及其他 p 膜是可能存在于弦论中的非微扰物件。这个想法原则上说得通，但若考虑细节，情况会变得比较复杂。如果你真的审视这些论文，有些很有道理，因为他们掌握了具备良好性质的古典孤子解（甚且，这些解经常带有奇怪的性质，其中某些例子成为后续发现的线索）；但其他文章就比较没道理，因为其中的古典解包含奇点（singularity），出现在古典逼近不太成立的区域。不过把膜当作弦论中非微扰、类似孤子的物件，是相当有见地的想法，即使某些文章的细节很可疑。虽然我对这个想法能发展出什么仍有一些保留，不过基于上面解释的理由，我比之前更加留意其发展。而这正是为什么当沈恩关于双单极束缚态的论文一出，我已经准备好完全改变我的观点。

沈恩的文章显示在强藕合的情况可以完成新的工作，而且很显然的，如果有人能掌握像沈恩的灵感，在 10 或 15 年前就能完成他的研究。这显示我们都错失了良机，这也很确定的改变了我的研究方向，导致你之前善意提及的瓦法和我的论文，协助赛伯格和我走上正确的方向，完成 1994 年的工作，以及其他等等⋯⋯

大栗博司与威腾。（大栗博司提供）

大栗：就像巴斯德（Louis Pasteur）说的一样，这个了不起的故事显示机会永远留给准备好的人。在那之后，你甚至发现了弦论的对偶性 [W95]。

弦论对偶的革命

1994 年底，大家已经具备二维和四维场论非微扰对偶性的经验。以二维为例，如果研究的是以卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）为目标空间的 σ 模型（这在研究弦论紧致化时很重要），你会发现量子论可以推广到远比卡拉比-丘流形这类古典几何还要更丰富的境地，你会发现一网络的相变发生在不同几何或非几何的 σ 模型之间，呈现出该理论不同的半古典极限（semi-classical limit）。经由后来的研究者琢磨过的蒙东涅-奥立佛对偶性猜想，认为四维的 N = 4 超杨-米尔斯理论也发生类似的现象，而赛伯格与我在 1994 年发现 N = 2 理论也有类似的现象。

一个卡拉比-丘流形的截面范例。（维基百科）

当时确实存在着弦论也会有类似现象的美梦。而且这不只是梦，事实上有许多论文已经指出这个故事的片片段段，其中我已经提过一些，另一篇重要论文是 1995 年春天户尔（Chris Hull）和汤森德所写的 [HT]，他们希望能说明 IIA 型超弦论与圆上的 M 理论是一样的，他们唯一没做到的是更定量的处理，其中存在着潜藏的矛盾，因为在 IIA 型超弦论中你看不到 11 维的东西。不过最后经过我稍后的厘清，发现这个问题的答案很简单，从 IIA 型超弦论的观点，11 维的极限是强藕合的区域，因此弱藕合看不到 11 维的东西。

很快就很清楚，其他情况也发生类似的现象。例如可以期待Ｉ型超弦论和 SO(32) 杂弦论是一样的。这里有一个明显而直接的矛盾─这两个理论有相同的无质量谱（massless spectrum）与低能相互作用，但是越过低能极限后看起来却完全不同。答案是，如果你让低能场论相符合，那么其中一个理论的弱藕合将会等于另一个理论的强藕合，反之亦然。

一旦你开始以这个方向来思考，结果一切就都对了。这意味着什么？这种想法当然会对何谓弦论给出更统一的图象。但是很快的，更多的发展显示我们传统提问的方式似乎不恰当。在 1980 年代，我相当相信，就某种意义，弦论的基础是某个拉格朗日函数（Lagrangian），这是重力论中爱因斯坦-希尔伯特的拉格朗日函数的推广，它的对称群则是微分同胚（diffeomorphism）群的推广，因此应该存在一个新的古典几何理论，具备以古典对称展现的非微扰二维对偶性，于是我们可以将这个古典理论量子化，进而生成弦论。

不过在 1990 年代早期，出现了一个我自己并没有特别留意的麻烦细节。在卡拉比-丘流形的模空间有各式各样的奇点，有些牵涉到这些奇点的问题，在我之前的研究里已经占有重要的地位。

大栗：你说的是涉及线性 σ 模型的工作。

没错，另外也包括我过去和哈维、瓦法，以及狄克森（Lance Dixon）在轨形（orbifold）的工作 [DHVW]。我一向对古典几何存在奇点，但量子 σ 模型却不含的情况感兴趣。这些案例显示了正常几何与它在弦论古典极限的推广不同。我比较没有仔细考虑的，是一般在卡拉比-丘流形模空间变形（deform）时，其实还存在着不但古典几何含奇点，而且所对应的 σ 模型也确实含有奇点的情况。

这类奇点出现在弦论甚至其古典极限之中，所以如果你试图将弦论解释成古典理论的量子化，看起来就像是古典理论也具有奇点，这一点很奇怪。我自己并没有专心思考这个问题，但是史聪闵格解释说这类奇点实际上反映了一种非微扰的量子效应 [St]。这种奇点会在带电黑洞（charged black hole）变成无质量时发生，这显示将古典理论量子化的看法不足以完全描述弦论─即使在我们想称之为古典极限的情况中，仍然存在着非微扰的量子效应。

大栗：你的意思是说在场论中并没有类似的情况，这是弦论独有的现象。

我是这么认为。

大栗：所以，你认为这是弦论并不存在拉格朗日函数描述的证据吗？

它是光靠古典理论的量子化不足以完全描述弦论的证据，我并不是说不存在古典理论，因为我相信就某种观点来说还是有的。

大栗：当然，做为逼近的描述当然有。但是你说的是我们不能从一个古典理论开始，然后进行量子化的程序……

光靠量子化背后的古典理论并无法完全理解弦论，以某种意义而言，弦论是一个内禀的量子力学理论。

我不想说成你无法靠古典理论的量子化推导出弦论，但我认为这种方法不足以描述它。让我们切记，即使在场论中，蒙东涅-奥立佛对偶性意味着同样的理论却有不同的古典极限，这显示其古典极限无法真的区分开来。

大栗：不过在这种情况，你有拉格朗日函数的描述。

当然，在蒙东涅-奥立佛的情况，我们有古典拉格朗日函数的描述，事实上还有不少。弦论的情况更麻烦些，因为即使在你想视之为古典极限的情况，仍然具有从古典观点说不太清楚的现象。

终究，史聪闵格的研究阐明了某些我忽略的现象。我在 1995 年弦论会议里关于弦论非微扰对偶性的演讲，以及其相应的论文之中 [W95]，有处细节不是那么有道理，在 K3 流形上的 IIA 型超弦论应该和四维环面上的杂弦对偶，在那个脉络里，我可以看出从 K3 面得到的强化规范对称（enhanced gauge symmetry）会发展出 ADE 奇点。而 ADE 奇点在古典几何中只是一类轨形奇点，在轨形的情况，弦论的微扰理论仍然适用。照理说，轨形不会产生非微扰规范对称，我因此困扰了几个月。事实上我犯了一个简单的错误，亚斯平沃（Paul Aspinwall）在 1995 年夏天的一篇论文中更正了这个错误 [A]。亚斯平沃的解释是，在 ADE 奇点的 M 理论只牵涉到超凯勒模空间（hyper-Kähler moduli），但是在 ADE 奇点的弦论，另外还多了所谓的 B 场模空间。当 B 场模空间为零时，其保角场论的行为会变奇特（singular）。而轨形所描述的是正常状态，这时 B 场模空间不为零。

当 B 场模空间消失时，古典描述会失效，宛如史聪闵格在他关于卡拉比-丘奇点的文章中所描述的情况。于是从 IIA 型超弦论的观点，导出了具备非微扰对称起源的强化规范对称。

史聪闵格所考虑的是源自缠卷（wrapped）三维膜的带电黑洞，而前述的情况相关的粒子则是缠卷二维膜。不过两者的想法类似。

大栗：所以这就是规范场论和弦论彼此想法互动的开端，规范场论的非交换非微扰动力学可以从弦论的极限中突现出来。

正是。另外一篇重要又极为简单的是 1996 年葛林的论文，它也展示了如何从弦论得出规范场论中的非微扰对偶性。在当时，波钦斯基（Joe Polchinski）和他的合作者基本上已经说明，用现代的语言来说，一组 n 平行膜系统具有 U(n) 规范对称 [P]，而我在 1995 年底写了一篇文章说明为何这很有用 [W96]。然而葛林却写了一篇很简单的文章提出下面的观察 [G]，IIB 型超弦论具有非微扰对偶性（当时我们已相信其正确性），而另一方面，四维而具有 U(n) 规范群的 N = 4 超杨-米尔斯理论，可以从 IIB 型超弦论的一组 n 平行 D3 膜系统推导出来。于是葛林将这两个事实结合起来，取其低能极限，就推导出具 U(n) 规范群的 N = 4 超杨-米尔斯理论的蒙东涅-奥立佛对偶性，当在 IIB 型超弦论中特别考虑 D3 膜时，这只是先天内建的结果。这是一个早期的重要典例，说明可以从弦论对偶性推导出规范场论对偶性。

即使早在前述过程之前，德弗和库利（Ramzi Khuri）在 1993 年就已经写了一篇文章 [DK]，讨论他们所谓的弦 / 弦对偶性。他们认为应该存在一种自对偶的六维弦论，当用不同角度去检视时，就会得到四维规范场论的电磁对偶性。这真的是一个聪明的想法，唯一的麻烦是，他们举不出行得通的例子。

我在 1995 年中期，领略到如果我们用在 K3 和 T⁴ 上的杂弦/II 型对偶性，再将另一个二维环面紧致化，就可以得到一个很类似于德弗和库利所建议的例子。他们想的是同一个弦论的自对偶，而我考虑的是不同弦论的对偶，但想法是类似的。在 1995 年底，德弗、我和米纳先（Ruben Minasian）举出另一个例子 [DMW]，更接近他两年前提出的想法。这牵涉到在 K3 面上的 E₈ x E₈ 杂弦，其中在两个 E₈ 上有相同的瞬子数。在所有这些情况里，都可以从弦论对偶性得到蒙东涅-奥立佛对偶性。

就在我们刚刚对谈的过程里，让我回想起越来越多我在 1995-1996 年间写的论文，当时是颇有戏剧性，但老实说大部分都很简单。我是在昨天京都奖会议里，听中岛啟的演讲时给提醒的。中岛开场时很体贴的提及 1996 年我在英国剑桥牛顿研究院（Newton Institute）所给的三场演讲，这些演讲牵涉到我所写的三篇文章 [RW][HW][SW96]，分别是和罗赞斯基（Lev Rozansky）, 哈纳利（Ami Hanany）, 以及赛伯格合作的，这三篇文章天衣无缝的契合起来，写这些文章很好玩，演讲也很好玩。不过我记忆里所突显出来的感觉是，在当时像这样的洞识是多少都已浮现在表面了。回顾那一段时光，在这个领域做研究真是好玩极了，我希望在我还能工作的职涯阶段，还能有一段这样的时光。

何者为真与为何为真的差异

户田：我的领域是代数几何，本来研究的是古典角度的代数几何，后来因为受你研究的启发，才开始对代数几何与弦论之间的关系感兴趣。你曾经讨论 S 对偶性和模形式，从数学观点来看，这十分令人意外，我实在看不出牵涉到模性质是如何出现的。从数学的角度，你有没有什么深入的洞见？

瓦法和我的确有个理由，也就是蒙东涅-奥立佛对偶猜想。我们所做的是说明，欧拉示性数的某些生成函数的模性质是某种蒙东涅-奥立佛对偶性的结论。这有点像是说某些数论命题是黎曼假说的结论一样。如果有人从黎曼假说证明了某些叙述，你可以认为或不认为这是该叙述的解释，但至少这将该叙述放入一个更大的框架，蒙东涅-奥立佛对偶性提供瓦法和我的研究一个类似的宏大框架。但很快的，我们又发现更大的框架，将蒙东涅-奥立佛对偶性纳入某个六维理论存在性的假说。蒙东涅-奥立佛对偶性也可以看成某些弦论对偶性的结论，其中有一些构造我前面已经提过了。不过大部分物理学家可能认为，解释蒙东涅-奥立佛对偶性最完整的框架是它和前述六维理论的关系。

大栗：户田问的是数学的解释。我想某些数学解释的提示，可能来自中岛对瞬子模空间对称性的研究。从数学观点，瓦法-威腾理论所计算的是瞬子模空间欧拉示性数的生成函数。

中岛仿射李代数的发现是某种证明，同时也确实是奇妙的发现。但它仍然让人会去玩味这些仿射李代数对称的根源。

户田： 确实如此。在计算欧拉示性数之后，可以知道这的确是模形式，但却不明白为什么出现模性质，连最简单的例子都无法理解。

我全然同意。你所说的正是我在京都奖纪念演讲中试图表达的。知道何者为真以及知道为何为真是不同的。在你提及的情况，你有一个数学证明，但还是想要追索原因，对这一点，物理学家终究是一无所知的。我们能做的是提供更大的猜想，让该叙述成为它的结论。但是我们并不真正理解更大的猜想。

大栗：从物理学家的观点，这个对偶性已经被几何化为六维理论的对称性了。

但是这个六维理论相当神祕。

户田：S 对偶性和这个六维理论的关系很容易理解吗？

大栗：它们的关系很清楚，但是你得先让这个六维理论说得通。

事实上，我们知道许多关于这个六维理论的行为，虽然对于要如何微观的建构或理解这个理论，目前还所知不多。

这方面最深刻的发现，来自 1997 年马尔达西纳（Juan Maldacena）的工作 [M]。他发现藉由超引力，可以在 N 很大时将这个六维理论解出来，其中 N 表示 SU(N) 规范群的秩（rank）。不幸的是，用超引力解出这个理论的范围，和我们通常研究感兴趣的问题范围并不相同。

大栗：我的理解是这个大 N 极限并不是 S 对偶不变的。

是的，没错。马尔达西纳对这个理论在 N 很大时的解是成立的，而且完全有其道理。只是不能直接帮我们理解蒙东涅-奥立佛对偶性，因为他研究这个理论所牵涉到的是不同区域的参数，它们在对偶关系下并非不变。或者，采用另一种说法，如果想要运用马尔达西纳的解来理解蒙东涅-奥立佛对偶性，我们必须在马尔达西纳描述并不那么有用的参数范围中工作。

不过马尔达西纳解的存在和成功，肯定提升了物理学家的信心，相信六维理论的存在，而且所有关于它的典型叙述皆为真，即使我们并不了解所有事情。这有点像数学家发现一些黎曼假说的新推论结果为真，这会让人对黎曼假说的信心更上一层楼，但不表示我们理解黎曼假说。

大栗：户田你对物理学最近的走向有什么看法？譬如，昨天中岛说他花了 18 年去理解爱德华的剑桥演讲。而深谷贤治（Kenji Fukaya）说他有时甚至连命题叙述都看不懂，不能理解物理学家方程式的左项和右项是什么意思。你已经在 Kavli IPMU 好几年，和物理学家时有互动，你可以提供一点看法吗？

户田：当然我对弦论是一窍不通，不过有时候阅读文章与某些计算时，会试着把物理的用词翻译成数学。像是把 D 膜译成层（sheaf）、把 BPS 态译成稳定（stable）的物件。我有许多东西要跟物理学家学，也有许多问题要解决，虽然我并不理解这些问题的物理缘起，但我也发现它们和代数几何的古典问题有关。

大栗：你也参加了弦论讨论班，参加这些讨论班并和物理学家交谈，有什么收获吗？

户田：我想弦论的研究者有很多类型，有些人的研究和我紧密相关，像是多纳森-汤玛斯不变量（Donaldson-Thomas invariant），以及由连贯层（coherent sheaf）所构成的导来范畴（derived category）。在他们的讨论班我可以学到一些东西，不过那几乎是一个数学讨论班。

大栗：有一个数学家告诉我，物理学家就好像猜想的生成函数，对数学家来说，某些特定的物理学家研究更有用。譬如，中岛告诉我他特别喜欢爱德华的演讲，因为即使他不懂其动机与想法的来源，但对他们来说，爱德华的某些叙述具有非常鲜明的数学意义，就像立川裕二（Yuji Tachikawa）昨天在会议演讲中征引的方程式，这些都是数学家可以研究的问题。

山崎：不过，有时候人们想知道的是背后的思考逻辑。我可以提出一个有数学意义的叙述，数学家可以尝试去证明，但是他们也确实想知道背后的道理。

在这些情况里，我无法保证不存在更简单的答案。不过对于我们讨论过的许多问题，大部分物理学家的观点就是，这些问题的最佳设定就是对物理学很重要的量子场论。

量子纠缠

大栗：我们刚刚所讨论的课题还停留在 1990 年代，让我们继续踏入新千喜年。你认为过去 14 年的进展亮点是什么？

答案之一是马尔达西纳引介的规范-重力对偶性，这个结果十分深刻。即使到了今天，这方面还是有许多有趣的新发现。其中一个重要的例子是笠真生（Shinsei Ryū）和高柳匡（Tadashi Takayanagi）在规范-重力对偶性方面的纠缠熵（entanglement entropy）研究 [RT]。 他们发现了黑洞贝肯斯坦-霍金熵（Bekenstein-Hawking entropy）非常有趣的推广，虽然我自己不曾做过这个主题的研究，但这个进展非常有趣，可能蕴藏着关于量子重力更深刻的线索。如果我能够找到正确的研究方法，可能自己就会踏入这个领域，不过至少到现在还没发生。这个方向是我最推荐观察的方向。

霍金、贝肯斯坦（维基百科）

除了笠和高柳，我也一定要推荐卡西尼（Horacio Casini）的文章，其中有些是和沃尔塔（Marina Huerta）一起合作的。这些文章中有一篇讨论下述问题 [Ca]：黑洞具有贝肯斯坦-霍金熵。大概 20 年前，贝肯斯坦（Jacob Bekenstein）思考这样的问题，假设有一个物体掉入黑洞，这个物体具有熵，当它掉入黑洞，熵也跟着消失。当黑洞捕获此物体，重量会增加，其熵也会提高。根据热力学第二定律，这在个过程里整体熵会提高。换句话说，黑洞所增加的熵至少大于该物体掉入黑洞前的熵。这基本上告诉我们，若一个物体具有给定能量，且小到足以放入给定质量的黑洞，那么这个物体的熵就有上限。贝肯斯坦提出这样的上限，称为贝肯斯坦上限（Bekenstein bound），不过有很长一段时间，没有人能够说清楚这个上限有什么意义。

这就让我想到深谷贤治说到物理和数学的关系，他提到很难去精确构想物理学家叙述中的用词。就贝肯斯坦上限的例子来说，情况大致如下。在概念（如大小、能量、掉入物体的熵）有清楚意义的情况下，贝肯斯坦上限显然成立，因此不太有趣。例如考虑在盒子中许多粒子跳来跳去构成的气体，这时系统的大小、能量、熵都很具体清楚，贝肯斯坦上限是正确而无趣，因为在很大的范围内这个式子都满足。我们可以问，是否能找到一种情境的熵几乎达到贝肯斯坦上限，要达到这个目标，你不能考虑整个气体的粒子，而是盒子中的单一粒子。更精确来说，如果我们能忽略盒子的质量，这个情况几乎会达到贝肯斯坦上限，可惜这是一个不怎么实际的假设。

于是如果想要靠近贝肯斯坦上限，我们实际应该考虑的是单一粒子，在某个给定时间，我们几乎确定它会位于时空中的某区域，即使并没有盒子装着它（我说「几乎确定」，因为相对论性量子力学禁止我们说某个粒子肯定会出现

在某个区域中）。对这个单一粒子，我们可以定义它的能量，可以找出它被束缚的区域（在相对论性量子力学的一般限制内），但是却很难说清楚单一粒子的熵。长久以来，有许多文章讨论这个问题，大约有几十篇甚至几百篇，大部分文章的洞识都很有限。然后出现了卡西尼简单而出色的论文，他说明正确的概念是纠缠熵，永远可以用自然的方式定义，并且也满足一个普适的类贝肯斯坦上限。这篇文章遥遥领先这个领域流行的想法，要过了好几年，我想，大家才广泛的接受与赏识它。

大栗：举例来说，卡西尼的文章解决了类数问题（species problem），我曾经被这个问题困扰了一段时间，结果他提出令人信服的解释，说明为何不需要烦恼这个问题。

过去有许多大家认为是贝肯斯坦上限的反例，因此有些人，包括我，认为如果这个上限是对的，它应该是属于能与重力藕合的量子场论的叙述，而非任何的量子场论。但是卡西尼说明这个想法全然错误，他为贝肯斯坦上限中的所有项给出精确的意义，并且说明这是源自一般性原理、对于所有量子场论都成立的普适叙述。这深具启发性，而且就像其他的纠缠熵研究一样，说不定是一条很重要的线索，不过这或许需要比我更年轻的人，以他们清新的想法才能知道这条线索到底通往何处。

在这个研究方向上，我想再提一项贡献，这是卡西尼、马尔达西纳，以及布守（Rafael Bousso）和费雪（Zachary Fisher）的研究 [BCFM]。 多年之前，布守曾经构造了贝肯斯坦上限的共变（covariant）版本，非常适用于宇宙学的问题。任何我所谈过关于贝肯斯坦上限的叙述，在布守上限都有相应的叙述。如果你了解其中的意义，会觉得不太有趣；但是当它显得有趣时，你却不了解它的意义。在 BCFM 最近的研究里，他们给出布守上限的精确表述与证明，至少在平坦时空的量子场论是如此。

大栗：我的观察是，量子重力论与量子信息论之间崭新的连结研究，已经有了令人非常兴奋的演变。很显然在这个脉络里，纠缠概念对于时空的突现一定能有所贡献。

但愿如此，我担心它的进展会很困难。所以事实上，我研究的是更熟悉的东西。过去十年左右，我花了许多时间承续研究一些可能有点偏离主流的问题，不像我先前大部分的研究那样。而且我花在这些问题的时间，也比我过去研究任何问题的时间都长。我想，有三个问题最适合我刚才的说法：规范场论与几何朗兰兹纲领（Langlands program）、规范场论与科凡诺夫同调群（Khovanov homology），以及超弦微扰论。

超弦微扰论若透过超黎曼面（super Riemann surface）的架构最容易理解。我所有关于超黎曼面的知识都来自德利涅（Pierre Deligne），在 1980 年代如此，最近更多。超黎曼面是正常黎曼面的迷人推广，纳入了奇（odd）或反交换（anticommutative）变数。其中有一部分美好的代数几何理论发展于 1980 年代，但自此停滞。如果这个研究方向能够复兴就太好了，事实上，2015 年 5 月 18 日到 22 日，在美国石溪大学的西蒙斯几何和物理研究中心（Simons Center for Geometry and Physics）有一个名为「超模空间」（Supermoduli）的研讨会，代数几何学家可能会感兴趣。

2013 年，威腾在克累数学研究所会议演讲结不变量和琼斯多项式。（Nick Hale 摄影，Clay Mathematics Institute 提供。）

科凡诺夫同调群

山崎：我昨天听了你的演讲，你解说了自己如何想到将科凡诺夫同调群视为 N ＝ 4 超杨-米尔斯场在一个奇特的回圈上做积分的结果。我感到印象深刻的是，其中的关键材料来自你之前的研究，像是你与卡普斯丁（Anton Kapustin）的工作，其中表述了卡普斯丁-威腾方程，还有后续你和嘉尤多（Davide Gaiotto）在 N ＝ 4 超杨-米尔斯理论边界条件的研究。在你撰写这些论文时，你已经知道可以应用到科凡诺夫同调群了吗？

答案是「没有」。我知道科凡诺夫同调群，而且因为不理解它而挫折，但是我完全没想到它和几何朗兰兹对应（Langlands correspondence）有关【译注：威腾本只使用「几何朗兰兹」的泛称，包括几何朗兰兹纲领、几何朗兰兹对应、几何朗兰兹对偶性等紧密相关之概念，暂译为接近他之后要详谈的几何朗兰兹对应，以符合阅读习惯】。挫折的原因是我认为以前我对结的琼斯多项式（Jones polynomial）研究 [W89]，应该是研究科凡诺夫同调群的绝佳起点，但是我就是看不出来该如何进行【注：从数学观点，科凡诺夫同调群是琼斯多项式的精致化或「范畴化」】。事实上在 2004 年，古科夫（Sergei Gukov）、亚伯特‧史瓦兹（Albert Schwarz）与瓦法就已经以物理学为基础，提出对科凡诺夫同调群的诠释 [GSV]，其中部分可以追源到大栗与瓦法的研究。但我觉得很疑惑也有点沮丧，因为他们的说法和规范场论的关系十分迂回而遥远。我希望能找到更直接的看法，但是耗了好几年，仍然觉得很困难。

结果最后，数学文献的某些进展帮我意识到，科凡诺夫同调群应该以理解几何朗兰兹对应的相同材料来处理。由于我对这方面的知识全然无知，我的学习依靠两个来源。一是盖茨哥利（Dennis Gaitsgory）对数学家所谓的量子几何朗兰兹对应（我不确定这是物理学家会采用的名称）的研究，他解释量子几何朗兰兹对应中的 q 参数，以及量子群与琼斯多项式中的 q 参数有关；其次是科提斯（Sabin Cautis）和康尼泽（Joel Kamnitzer）的文章，他们用重复的赫克修正（repeated Hecke modifications）所形成的空间来构造科凡诺夫同调群。刚开头我并不知道要如何运用这些线索，不过它们就像高挂的红旗一样不断提醒我。

赫克转换是几何朗兰兹对应最重要的材料之一，至于它在物理的意义何在，困扰我非常久，最后更成为我想从物理学与规范场论诠释几何朗兰兹对应的最后主要绊脚石。结果，我在一趟从西雅图返家的班机上，突然领悟到几何朗兰兹对应中的赫克转换，其实就是以代数几何的方式，去描述量子规范场论中的「特胡夫特算子」（’t Hooft operator）效应。我从来没有研究过特胡夫特算子，但我很熟悉它，因为这是 1970 年代末就被引入当作理解量子规范场论的工具。如何运用特胡夫特算子的基本知识，以及它在电磁对偶下的行为都是广为人知的，所以一旦我可以重新用特胡夫特算子诠释赫克转换，许多事情就变得显而易见。

科提斯和康尼泽用重复赫克修正所构造的空间中的 B 模型来诠释科凡诺夫同调群。康尼泽在另一篇文章中猜想，用同一空间的 A 模型也会有另一种不同的描述方式，不过技术上要找到正确的 A 模型并不容易。我真的很想了解 A 模型，因为在这个方向上，能够期待达到明显的三维或四维对称。我研究科凡诺夫同调群的主要目标，是要找到具有明显对称的描述方式，以及和琼斯多项式的规范场论描述的明晰关系。我最终成功了 [W12]，其中最难处理的部分是其中的规范场必须遵守一个很微妙的边界条件，我称之为纳姆极点（Nahm pole）边界条件【注：纳姆（Werner Nahm）在他 30 年前研究磁单极时，引入纳姆极点边界条件的基本想法】。幸运的是我对纳姆极点边界条件以及它在电磁对偶的角色很熟悉，这得力于几年前我和嘉尤多的研究 [GW]。

我猜测数学界在短期或中期内会开始领会我的科凡诺夫同调群研究，其中的障碍大部分是因为不熟悉纳姆极点边界条件。基于此，我一直和马捷欧（Rafe Mazzeo）合作，试着给出这个边界条件的数学细节。我们已经写了一篇文章 [MW]，在没有结的情况，严格表述纳姆极点边界条件，我们正试图将此推广到含结的情况，其中必要的不等式已经掌握，只有一些细节还没到位。

山崎： 原来如此。这是一段物理和数学互动的佳话。你的动机部分出自重要的数学论文，接着以物理学家的立场提出诠释，然后你发展自己的物理故事，现在你尝试要将它带回数学。

前面说过，科提斯和康尼泽真正能处理的是 B 模型，但因为这个诠释不存在明显的三维对称，所以我决定集中精神处理 A 模型。不过如果能够腾出几个月的时间，我会试着以物理学家的立场解释科提斯和康尼泽的 B 模型。我合理乐观的相信我做得到，并且相信结果会很有启发性。唯一的问题是，类似这样——我认为如果专心几个月应该能厘清的有趣枝节——真的非常多。

朗兰兹对应与规范场论对偶性

大栗：大概在 1970 年代末期，人们就知道朗兰兹对应和 S 对偶有某种关系，你是在什么时候真的意识到这一点的？

刚才我没有说完整 1977 年时和阿提雅的互动经过。他告诉我两件当时我不知道的事。一是蒙东涅-奥立佛的文章，另一件就是朗兰兹对应，这是数论的核心课题，但是我从没听过。阿提雅注意到朗兰兹的对偶群和蒙东涅-奥立佛猜想的对偶群是一样的【注：这在稍早一点就已由高达（Peter Goddard）、努茨（Jean Nuyts）与奥立佛所介绍引入了】。因此，阿提雅猜测朗兰兹对应和蒙东涅-奥立佛猜想有某种关系。

大栗：这是 1970 年代末的事吧？

那是 1977 年 12 月或 1978 年 1 月的事，当时我第一次访问牛津。

大栗：你在当时是否就已经认真看待这个朗兰兹对应与规范动力学有关的看法？

嗯，我从来没忘记这一点，但正如我前面说的，由于我怀疑蒙东涅-奥立佛对偶性的想法，所以也没有很认真把它和朗兰兹对应兜起来，那时我并没想过要学习朗兰兹对应，一直到 1980 年代末，我从没碰过这方面的东西。然后我才很肤浅的学习朗兰兹对应。只要你学过一点朗兰兹对应，以及一点黎曼面上的保角场论，就会看出两者的相似性。我因此写了一篇文章，然后就领悟到我的了解实在太肤浅，得不到深刻的结果，所以放弃这些东西达数年之久。

朗兰兹。（维基百科）

大栗：我记得，当我 1988 年到 1989 年在普林斯顿高等研究院做博士后研究时，朗兰兹（Robert Langlands）自己对保角场论非常感兴趣，只是我不确切知道他感兴趣的角度。

我不认为他是基于朗兰兹对应的理由，不过我认为他的研究影响深远。即使从某种观点，他自己缺乏明确的主要突破，但他协助找到一些问题，刺激了后来随机罗乌纳演化（Stochastic Loewner Evolution）概念的后续发展，这对数学影响重大，也启发物理学家对保角场论的某些问题产生新的想法。我认为他对这项研究有影响，但我不相信他对保角场论的兴趣，是来自朗兰兹对应或是规范场论的对偶性。这是我和他多年互动的印象。

我刚才说过，在 1980 年代末，我花了一些时间试图发展保角场论和朗兰兹对应的类比，最后不甘不愿的总结说，我所发展的那种类比形式实在太肤浅，于是研究就中止了。但是在 1990 年左右，我听到贝林（Alexander Beilinson）与狄林费德（Vladimir Drinfeld）在几何朗兰兹对应的崭新研究。这件事有几个效应。首先，这确认了我对于这项对偶性的物理意义的理解太肤浅。比起我在朗兰兹对应与保角场论的粗糙类比，他们的研究结果更胜许多，不但更通透也更富细节。他们的研究也确认了和我所知的物理学的相关性。但另一方面我也感到烦恼，因为他们运用保角场论的方式，对我来说其实没有意义。他们所研究的保角场论是在负整数阶（level），但在物理学只有正整数阶才自然，而且他们用法十分怪异。

兜不起来的熟悉材料

正如我昨天在京都奖纪念演讲中所解释的，与琼斯多项式有关的「体积猜想」曾经困扰我。这个猜想是 2000 年左右，卡塞夫（Rinat Kashaev）、村上齐（Hitoshi Murakami）与村上顺（Jun Murakami）等人开始表述与发展出来的，大部分古科夫都曾向我解说过。虽然他们的叙述和有物理意义的命题具有表面的相似性（事实上就出自我 1988 年关于琼斯多项式的原始文章），其中却有关键的差异。在他们的看法里似乎出现复临界点，造成指数般大的贡献，这在物理中通常是不可能的。我不知道这一点是否曾困扰其他人，我是很困扰。结果这是一个很值得思考的问题，因为我终究找到一个合宜的解释，而且成为引领我藉由规范场论去理解科凡诺夫同调群的转捩点。

贝林森与狄林费德的几何朗兰兹对应研究也一样困扰我，他们采用了物理学家熟知的材料，但使用的方式却似乎兜不拢。看起来就像有人拿了一堆西洋棋子，或者在日本，应该说拿的是一堆将棋棋子，然后很随性的摆在棋盘上。对我来说，棋子的摆法全无章法可言，这很困扰，但我却无计可施。

事实上，从仅能理解的一小部分，我很纳闷贝林森与狄林费德所说的是否和希沁（Nigel Hitchin）的研究有关。所以我跟他们提到希沁的文章，其中希沁构造了复曲线上某纤维丛模空间上的可交换微分算子；换一种说法，希沁是将他几年前构造的古典可积系统给量子化了。虽然我几乎完全不懂贝林森与狄林费德的工作，倒是帮他们与希沁的工作拉上线，结果在贝林森与狄林费德一篇非常长而不曾出版的关于几何朗兰兹对应的基础文章里（可在网路找到），他们很大方的感谢我，过份高估了我的理解。真正发生的只是我的一个猜测，告诉他们希沁的研究，我想这让他们看清了所有事情。他们可能以为我知道一些东西，但其实并没有。不管如何，在那些年里，大家有许多理由猜测几何朗兰兹对应和物理有某种关系，不过就像你看到的，我当时还没搞清楚其中的道理。

大栗：所以，是什么灵感让你又回到这个问题？

大概十年后，在高等研究院有一个为物理学家举办的几何朗兰兹对应研讨会，这个会议你有出席吗？

大栗：我有收到邀请，但因为时程的冲突，无法参加。

这个研讨会有两个系列演讲，再加上一些额外的零星演讲。系列演讲非常出色，但对我帮助不大。郭列斯基（Mark Goresky）的系列演讲目标，是想告诉物理学家何谓朗兰兹对应。对我来说唯一的麻烦是，如果想要靠几次演讲解释这个主题，而且还假设不超过体（代数意义的 field）的代数知识，那我已经熟知朗兰兹对应。也就是说，虽然我对这个主题所知甚少，不过我至少还具有从零开始并在几个小时内可以解释的程度。所以这个系列演讲我没有什么收获。

再来，这个研讨会的主要推动者弗伦科（Edward Frenkel）给了另一系列的演讲，就我而言，基本上他谈的就是棋子乱摆的将棋棋盘，我实在也无法从中获益。因为我已经知道研究几何朗兰兹对应的人，从我的观点就是把大家熟知的将棋棋子在棋盘上乱摆一通。

除了系列演讲，这个研讨会还有一些额外的演讲。其中之一的讲者是本兹维（David Ben-Zvi）。他谈的是应该如何逼近几何朗兰兹对应。我想他大部分谈的是另一位数学家艾林金（Dima Arinkin）的工作。他们所谓的逼近是在希沁纤形（Hitchin fibration）的纤维（fiber）上的 T 对偶。本兹维以复结构来描述，其中希沁纤形的纤维是全纯的（holomorphic），因此 T 对偶是全纯对偶。物理学家已经知道，希沁纤形纤维上的 T 对偶来自四维蒙东涅-奥立佛对偶性，而且自从阿提雅在 1977-78 年告知他的观察后，我当然也开始注意某种朗兰兹对应与蒙东涅-奥立佛对偶性有关联的可能性。但是为什么本兹维宣称的只是从 T 对偶得到朗兰兹对应的逼近，而不是朗兰兹对应本身呢？到了某个地步，我开始怀疑原因或许出在本兹维的描述用错复结构了。其中的想法是希沁模空间上的同一 T 对偶，如果用不同观点就会得到镜对称，一边是某复结构的 B 模型，另一边是某辛结构（symplectic structure）的 A 模型。这个镜对称应该就是真正的几何朗兰兹对应，而不仅止于逼近。事实上，我之所以开始和卡普斯丁合作研究几何朗兰兹对应，就是因为他已经研究过二维对偶中的广义复几何。在他描述的世界里，一系列的对偶会出现退化，而且镜对称会退化成全纯对偶。

只要开始沿着这个方向思考，很快就会理解几何朗兰兹对偶就是镜对称，偶而才会退化成全纯对偶，而这正是本兹维告诉我们的逼近。我开始相信这是正确的看法，但是还必须克服一些障碍。最困难的一步前面已经谈过，赫克算子是证明朗兰兹对应的第一步，所以必须用规范场论的特胡夫特算子以物理来诠释赫克算子。再来必须藉由复流形 M 上的微分算子来诠释 M 馀切丛（cotangent bundle）的 A 模型。这和卡普斯丁先前的研究颇为接近。只要把这些关键都厘清了，那么何谓几何朗兰兹对偶，从我作为物理学家的角度来说，可以算是相当清楚了。

发现生命的意义却难以言诠

但是写一篇文章讨论这个主题并非易事，大概花了一年的时间才完成 [KW]。在那一年，我好像一个发现生命意义的人，却苦于无法向他人解释。而且就某种意义，我现在仍然有这种感觉，原因是这样的，一个有弦论或规范场论对偶性背景的物理学家，可以了解我和卡普斯丁关于几何朗兰兹对应的文章，不过对大部分的物理学家，这项主题太过繁琐，很难真的令人兴奋起来。另一方面，数学家虽然认为这是激动人心的课题，却很难理解我们的文章，因为里面有太多不熟悉的量子场论与弦论（而且也难以严格表述）。所以很遗憾，这篇我和卡普斯丁合写的文章，恐怕会有很长一段时间，数学家难以理解。

山崎：这表示也许我们得再等上 10 或 15 年。

可能还真是如此。我想的确很难看出近日有哪些进展才能让数学家理解几何朗兰兹对应的规范场论诠释。实际上这正是为什么我会对科凡诺夫同调群的结果那么兴奋的原因。针对科凡诺夫同调群与几何朗兰兹对应，我的研究理路用了许多相似的材料。但是在科凡诺夫同调群的情况，如果数学家对这个结果有兴趣，那么在最近的未来他们一定可以理解证明的想法，我相信这个方向比较行得通。如果要我赌，我认为有相当的可能性，可以亲眼看到规范场论与科凡诺夫同调群的研究被数学家接受与赞赏。但是我认为要非常幸运，才能看到规范场论与几何朗兰兹对应的研究被同样的领会。当然这纯粹只是个人的揣测。

户田：你认为你对 S 对偶性与几何朗兰兹对应的想法，有可能应用到真正的朗兰兹纲领吗？

我觉得还差的很远。我个人以为数论终究会与物理学搭上线是一种梦想，但我怀疑进展会那么快。在物理的许多领域里出现某些特定的数论公式，或许正是哪天美梦能成真的线索。但要让我真的倾心关注，数论必须以更结构化的方式呈现在物理学中。对于那种多少是基于特设情境的物理计算中所出现的特殊公式，我并不太感兴趣。数论要与物理更加整合才有趣，我不觉得这会很快发生。

我的研究专注于朗兰兹对应的几何形式，因为我察觉在奠基于物理且唾手可得的工具脉络里，有希望真的理解这个问题。对于数论的朗兰兹对应，或许某一天这种情况也会发生，不过现在还缺了许多东西，我们也不知道哪一样会先出现。我之所以能够有进展，是因为我把焦点放得够狭窄，没有试着去理解数论的朗兰兹对应。

户田：S 对偶性与几何朗兰兹对应的关系让我很意外，因为对我来说，数论这个研究领域似乎和物理相距甚远。

尽管如此，还是有很多重要发展来日可能成为重要的线索。其中最深刻的发现之一，是大约 15 年前塞迪（Savdeep Sethi）和葛林，以及后续葛林与其他合作者的研究。在塞迪和葛林原初的研究里 [GSe]，他们研究 10 维 IIB 型超弦论的低能 R^4 交互作用（这里的 R 是黎曼曲率张量） 。他们得到我认为很惊人的发现，答案是某种非全纯且权重为 3/2 的艾森斯坦级数（Eisenstein series）。虽然我对数论的知识很肤浅，我想这类结果比较接近现代数论学家的兴趣，而不是经常出现在二维保角场论的古典模形式。

大栗：在数论中也出现这一类并非完全遵守模特性的物件。

正是如此。很多数论学家喜爱的东西在物理进展中出现，有些甚至就在我的研究里。其中很多发现显示，我们做为弦论学者所研究的物理理论，能令数论学家感到兴趣，原来物理理论竟然包藏着一些数论的知识。不过我个人不觉得在可预见的未来，物理有多大机会能以结构性的方式与数论接触。我甚至无法表述这样的接触将会长的什么模样，所以甚至无法中肯的告诉你什么是物理做不到的，总之我觉得这个时间点不对。

好吧，这就是为什么我个人比较在意几何朗兰兹对应而非数论的原因。光是几何朗兰兹对应就够困难了，需要竭精耗神才能理解。不过我认为理解之后，许多数学家涉及表现论几何面向的研究材料，从物理观点已经容易了解得多。举例来说，虽然我不理解昨天中岛在京都奖研讨会的演讲，但我认为要理解他的结果，可能会牵涉几何朗兰兹对应的研究之后所厘清的概念。我无法保证，但值得一试。

至少有件事很明显，虽然中岛来不及解释整个架构，但在他的演讲快结束时，谈到仿射格拉斯曼空间（affine Grassmannian）。但是特胡夫特算子的同构类和仿射格拉斯曼空间的闭链（cycle）有关，所以当数学家跟你谈到仿射格拉斯曼空间，也许你可以至少就所听到的部分，从特胡夫特算子的角度来思考。我无法保证一定可行，但至少从物理学家的角度，想要了解中岛的结果，这个想法绝对值得一试。

不管如何，我很笃定，从物理学家的观点，我们可以而且应该尽量去理解几何表现论（geometric representation theory）。事实上，贝林森与狄林费德原初研究中的其中一部分，我还无法充分理解。我所关心的是他们把保角场论用在所谓的临界阶 −h，其中 h 是对偶考克斯特数（dual Coxeter number），然后构造某种 B 膜（用他们的术语对应到所谓的算元（oper）【译注：依照贝林森与狄林费德的说明，“oper” 一词源于线丛间微分算子的抽象化，故译为「算元」】）的 A 模型对偶。嘉尤多和我在几年前，提出一个合理的解释，说明电磁对偶和算元解形（variety of opers）的关系，但我仍然不认为理解它和保角场论的关系了。不过在过去几年里，研究超对称规范场论的物理学家，已经在四维以及其六维亲戚有了几项发现，其中牵涉到临界阶的保角场论，所以现在可能是解决这个疑点的正确时机了。

如何与数学家合作

户田：我有个一般性的问题。数学家该做的是哪一类问题？

有许多代数几何学家研究的问题牵涉到物理学家研究的对偶性。有许多情况我无法给出多少建议，毕竟我不是最近进展的专家。其中有些前一阵子物理学家完成且十分相关的工作，我还一直在努力理解。举些例子，像郭帕库玛-瓦法公式（Gopakumar-Vafa formula），还有大栗-瓦法公式（Ooguri-Vafa formula），对代数几何学家都很有影响。不过做为物理学家，我从不认为已经彻底了解。所以事实上，去年我和一位学生迪杜森寇（Mykola Dedushenko）花了很多时间想更深入理解这些公式。在这个研究里，我在做一些要回答你的问题之前必须研究的功课 [DeW]。

大栗：这是你下周在 Kavli IPMU 要演讲的主题。

回到户田的问题，对于最近大家感兴趣的数学领域，虽然有很多我可能提不出有用的意见，但是对于代数几何学家我有一点小建议。我非常推荐超黎曼面这个主题，我很确定其中含有深刻的理论，但我无法保证它多快会绽放神采，因为也许只有在够多人受到吸引后，深刻的理论才能在短时间内获得发展，或许下个春天在西蒙斯研究中心举行的研讨会是一个机会，只能静观其变了。

大栗：25 到 30 年前，的确有人研究微扰弦论中宇宙常数是否有限或零的问题，但无法令人完全满意。我想只有在你以超黎曼面几何来给出适切的描述后，才得到完整的理解。

谢谢，大栗，很高兴你这样认为。但不是所有物理学家都同意，因为他们可以用图变算子（picture changing operator）等概念来表示所有东西，进而把超黎曼面隐藏起来。我个人认为这样做，让人无法真正理解这些公式的意义。当然言人人殊。

我认为超黎曼面之所以在 1980 年代中止发展，是因为物理学家已经满意于他们的部分理解，将超黎曼面藏到舞台后头。如果你想那样去理解，就只会忽略这个极为美丽的课题。我很关心这个方向，到现在已经花了好几年的时间处理运用超黎曼面的细节。

是否有许多物理学家会因为我尝试填补的细节而真的感到兴奋，似乎不是很清楚。所以我的期待之一，是数学家会对超黎曼面的发展感兴趣。无法保证，但我觉得他们应该感兴趣。

大栗：由于更明确的理解微扰弦论了，你会希望出现崭新的物理洞识吗？

答案可能得看你如何看待物理洞识。如果一个人认为用超黎曼面模空间上的积分表述，将能更清楚超弦微扰论的意义，这可以算是一种洞见。但是我看不出有什么证据，以上述的方式纳入超黎曼面来理解微扰理论之后，就能帮忙回答譬如非微扰的问题，或更了解弦论的对称结构，或者其他任何可能正确的概念。

山崎：我有一个最后的问题。你研究领域的其中一部分是数学物理。你和数学家有许多讨论，写了很多数学论文。

这样说吧，我只在很特别的情况下写数学文章，只写自认能带来启发性的题材。最近的例子是我和多纳吉（Ron Donagi）讨论超黎曼面模空间基础性问题的工作 [DoW]，还有前述我和马捷欧研究纳姆极点边界条件的文章。

山崎：我了解了，所以我的问题是，如果物理学家想要有效率的和数学家合作，你会提出什么忠告？

这很难。想要做出严格的证明需要很细微的方法，这对物理学家很困难，就连我也只能在很特殊的情况，像是我发现某些环节真的有缺陷，而又真的简单到只要有正确的合作者我就能有所帮助的情形。有一些物理学家针对特殊的领域，会希望踏入问题的细节，学习严格证明的技巧。但我认为大部分物理学家，只会在很特别的情况，才会愿意并能成功的执行，就像我的选择一样。

山崎：原来如此。另外，在你的许多研究中，和数学家的交谈是否曾为你带来灵感？

这经常发生在数学家的研究牵涉到物理面向，但大家还不甚了解，而且对我也没有意义的时候。例如先前提到的体积猜想，有相当多年我无法理解该领域的这个结论，因为复临界点提供指数层级的贡献。我只能不断的将它摆到一旁，毫无进展。最后在 2009 年 9 月，我参加在德国波恩的豪斯朵夫研究所（Hausdorff Institute）为庆祝陈-西蒙斯理论 20 周年所举办的会议里，我听到更多关于体积猜想的演讲，结果我真的很尴尬，竟然不懂出现指数级贡献的起因。后来的发展证明我当时对这问题如此忧心是对的，因为它的答案极为有用。

山崎：是的，因为感觉棋子被错摆让你对这个问题产生兴趣，你最后解决了这个问题并导致新的发展。

是啊，另一个例子是贝林森与狄林费德那个棋子乱成一团的将棋棋盘。

给年轻的学生

大栗：棋子看起来摆错了，但如果从不同的维度看起来，说不定根本就很整齐。

我也有一个最后的问题，在 20 年前《 数学セミナー》的江口徹访谈里，他问起数学和物理交界处的发展愿景，你回答说这个领域的进展十分强劲，你预测在可见的未来这项进展将会持续下去，你的预测在过去 20 年当然已经被大大的证实了。基于此，我想再一次问同样这个问题，你能否给阅读这篇文章的年轻学子，对这个领域的未来给予忠告。

首先，过去 20 年，数学和物理不只有持续的互动关系，而且已经多元发展到一种地步，许多有趣的结果我很尴尬的只能领略一二，这个领域一直往许多方向扩张。

我很确定这个现象会持续下去，而且我相信会持续下去的理由是，我确信在量子场论与弦论里有着相当丰富的数学祕密。当这些祕密部分浮现到表面时，经常让物理学家很意外，因为做为物理学的领域，我们其实并不真的那么理解弦论，不理解弦论背后的核心概念。而在更根本的层次，数学家仍然还不能全面掌握量子场论，因此从而出现的结论也很令数学家惊讶。基于这两个原因，我认为从物理和数学里所生成的各种概念，还会继续令人意外很长一段时间。

对年轻人来说，我很确定这里面有许多令人兴奋的机会，他们可以帮忙诠释个中的意义，因为我们无法适切理解这个理论。在 1990 年代，当我们益发清楚不同的弦论可以用非微扰对偶性来统一，而弦论就某种意义上是固有的量子理论时，我们因此获得更开阔的视野。但我们仍然只是不断研究这个主题的许多不同面向，却不十分清楚其核心基础原理。只要这一点继续保持下去，今天的年轻人就有机会做出更大的发现。如果我真的能够确切的告诉你该往那个方向走，我自己就会在那里。

大栗：非常感谢你花时间与我们长谈，这是一场十分有趣的访谈，再次恭喜你获得京都奖。

谢谢你对我获得京都奖的溢美之词，也很感谢和你们所进行的讨论，这帮忙我回想起过去 20 年里我们的许多进展。

大栗：让我们 20 年后再聚一次，品赏下一个 20 年的进展。

可以试试。但这样我们就都得多多运动，保持健康才行。

本文参考资料为本刊编辑室新编，请见〈数理人文资料网页〉

http://yaucenter.nctu.edu.tw/periodical.php

延伸阅读

1. 2014 京都奖网站中之威腾主网页，包含许多相关资讯。

http://www.inamori-f.or.jp/laureates/k30_b_edward/prf_e.html

威腾的获奖纪念演讲，讲题是 Adventures in Physics and Math

https://www.youtube.com/watch?v=zZ4m-mqcFkA

2. 格林恩（Brian Greene）介绍弦论的 Elegant Universe 当年真是洛阳纸贵。同名的 PBS 影集也有很好的销售量。（影片目前 YouTube 也找得到）底下是两个比较新的现场演讲：

Greene,Brian “Making sense of string theory” TED Talk (2008)

https://www.youtube.com/watch?v=YtdE662eY_M

Greene,Brian “The State of StringTheory” (2011), Stony Brook University.

http://scgp.stonybrook.edu/video_portal/video.php?id=24

3. 丘成桐、纳迪斯《大宇之形》，湖南科学技术出版社，2012 年。

《数理人文》是一本具国际观的科普杂志，由著名数学家丘成桐先生主编，邀请当代第一流的数学家与科学家，谈谈他们的研究经历和成功经验。让活跃在研究前沿的科学家，用轻松的文笔，通俗的介绍数学及各领域激动人心的最新进展；导览某个科学专题精彩曲折的发展历史；描述数学在现代科学技术中的广泛应用。内容题材以数学、物理及工程为经，人文为纬，以促进数理人文教育。欢迎订阅或推荐图书馆订购 International Press  of Boston 的期刊，详情请浏览：intlpress.com

欢迎关注《数理人文》杂志微信版

© International Press of Boston

微信订阅号：math_hmat