一张通往“三体世界”的地图

本文节选自《人类最美的54个公式》

凭借《三体》这本小说，刘慈欣单枪匹马把中国科幻提升到世界水平。

小说虚构了生活在“三体”星系上的一群智慧生命，我们称之为“三体人”，虽然历经千万年进化，科技已经非常发达，但仍然惶惶不可终日，因为他们的星系里有三个太阳，这三个太阳的运行完全没有规则，也就是所谓的“三体”运动，你根本不知道哪天会“三日凌空”，分分钟热死你；也不知道哪一天寒夜将至，一冻上千年。所以当他们发现了四季分明的地球时，简直就是饿狼看到了牛排，鲨鱼闻到了血腥，这不就是传说中的天堂吗？这个不需要求解三体运动的星球，正是梦寐以求的家园！但地球人是不信邪的，愚蠢的三体人找不出三体的解析解，但我们应该可以啊！看看这数百年来地球人是如何寻找通往“三体世界”的地图的。

①

恒纪元

二体问题已得到彻底解决

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“三体问题”这一振聋发聩的天问，还得从一颗“扫把星”说起。

公元1066年，一颗拖着长尾巴的古怪天体在深沉夜空中缓缓划过，注视着人间正上演的殊死一战。此时在黑斯廷斯的山岗上，英国国王哈德罗正带领着他的军队死死抵抗着诺曼人的入侵。这一夜，哀鸿遍野，血河流淌，英国终不敌诺曼人的强悍武力，只能痛苦地匍匐在敌人脚下俯首称臣，眼睁睁地看着入侵者趾高气扬地站上他们的王城之巅。当时，人们将这一切灾难源头归咎为那颗神秘天体，认为是上帝给予的一种战争警告和预示，暗暗在心中以此为戒。而在1682年，这颗似曾相识的星体再次划过英国上空时，果不其然，引起了民众的极度恐慌。

像这种把彗星的出现和人间的灾难联系在一起的事例有很多，而年轻有为的天文学家哈雷对于“灾星”一说却是嗤之以鼻的，他深知这只是一颗普通的彗星，并且长期坚持不懈地观测、记录彗星的运行轨迹，努力地想找寻出掩藏在这颗星体背后的运行规律。1684年，哈雷前去剑桥拜访请教牛顿，终于得到了朝思暮想的答案——牛顿准确地告诉他：物体间引力和距离的平方成反比。而且根据他的计算结果可知，天体都是围着一条椭圆的轨道运行的。这一答案令哈雷大吃一惊，之后他利用牛顿的理论成功预测了彗星再次降临地球的时间，这就是著名的“哈雷彗星”命名的由来。 哈雷对牛顿竟然早就知道天体运行秘密的博文卓识佩服得五体投地，他不由地督促牛顿将他的学术成果著作成书并不留余力地帮助他出版，牛顿的巨著《自热哲学的数学原理》就在机缘巧合之下，借着“扫把星”的东风带着自己的神圣使命问世了。犹如盘古开天辟地，这第一部集科学革命之大成的书籍，在物理学、数学、天文学和哲学等领域产生了旷古烁今的巨大影响。我想，“扫把星”这无辜的背锅侠，应该能把锅卸下了吧。

牛顿在《自热哲学的数学原理》用数学方法严格地证明了开普勒三大定律，使二体问题得到彻底的解决，也是迄今为止唯一能彻底求解的天体力学问题。所谓二体问题，是只考虑两个具有质量和m2的质点之间的相互作用（只考虑万有引力），像地球的自转、形状等等影响因素被忽略不计，设m1、m2的向径是R，那么他们的向径加速度就是R关于时间t的二次微分，记为：d^2(R)/d^2(t) （就是R的二阶微分与t的二阶微分比）。

根据万有引力定律，向径加速度应该等于向心力与质量m的比，即-uR/(r^3)

以上两则相等，于是得到二体运动方程：

d^2(R)/d^2(t)=-uR/(r^3)

（在这里R是向量，r是R的模；u是地球引力常数，是人造地球卫星运动中常用的常数，具体的公式u=GM，G为万有引力常数，M是地球质量。这个应该好理解，就是万有引力公式的变形）以m1和m2表示太阳和行星的质量，来研究它们的运动情况。也就是说，二体问题数学上可以归结为求解如下的微分方程：

②

终极追问

人类顶尖科学家无功而返

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身处三维世界的地球人类，不知道到底能不能解开“三体”这个结。

牛顿时代就已经得到了上述二体问题微分方程的精确解，二体问题的成功解决给牛顿以希望，他开始迫不及待着手研究三体问题，不得不说，年青的牛顿是一个非常上进的青年，如果三体人真的占领了地球，可能唯一能够活命的也就是他了。

牛顿研究三体问题也不仅仅是为了证明自己比莱布尼茨牛逼，因为三体问题是天体力学中的基本模型，即探究三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律，这个规律也算是普世的，值得好好研究。

最简单的例子就是太阳系中太阳、地球和月球的运动。但没想到的是，从2到3这看起来简单的数字跳转之后的问题却使牛顿头痛不已。像两个球那样有流畅曼妙的椭圆轨道的曲线没有了，牛顿在三体问题计算中，得到的曲线不是越走越乱就是越走越远，杂乱无章的答案将牛顿带入失落的漩涡，三体为什么不能周而复始地运行下去呢？这个问题牛顿得不到答案，也没有人能为他解答。所以牛顿认为，我们的太阳、地球再加上月亮的系统是不稳定的。

这是一件多么令人沮丧的事啊！旦复旦兮于我们足矣，在牛顿那里，日月光华好像就有点难了。到了晚年，我们失落的牛顿之所以寄情于上帝的神迹，大概是想通过无所不能的上帝来解决心中的疑惑吧。

但岂止是牛顿，即使是几百年之后的今天，经历了无数位科学家、数学家勤勤恳恳地作业追寻，三体问题仍然未能圆满地解决，大于3的N体问题自然就更为困难了。如此困难重重的三体问题却是天体运动中非常常见的情况，比如与我们生活息息相关的太阳、地球、月亮三者，但它们根据牛顿的计算，就好像是三个调皮的小孩不听话地散乱抛开，万有引力联系不能将它们乖乖聚集在一起。   

三体问题的真正解决，是建立一种数学模型，使得在已知任何一个时间断面的初始运动矢量时，能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。一般的三体问题，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下，其运动方程都可以表示成6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分，远远不足以解决三体问题。

③

乱纪元

百年数学大厦上挥之不去的乌云

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1900年，慧眼如炬的数学家希尔伯特在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题以及两个典型例子，第一个例子是费马大定理，第二个就是N体问题的特例——三体问题。幸而1995年费马大定理终于得以解决，但三体问题却仍然是数学大厦上的一朵沉重乌云，牢牢地罩着一层挥之不去的阴霾。我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是无解析解，意思是三体问题没有规律性答案，不能用准确无误解析式进行表达，只能算一个数值解，并且得出的数值并不是一个精确值。对于三体问题得出的初始数值解，一开始是有极小的误差，而在时间的驱动下，这个误差会被逐渐放大，所谓“失之毫厘谬以千里”，当时间趋于无穷时，数字龙卷风早就不知道将三体轨道的最终命运刮向何处了。对于轨道的长时间行为的不确定性，就被称为“混沌”现象。

三个物体在空间中的分布可以有无穷多种情况，由于混沌现象的存在，通常情况下三体问题的解是非周期性的。但在特殊条件下，一些特解是存在的。例如在合适的初始条件：位置、速度等等，系统在运动一段时间之后能够回到初始状态，即进行周期性的运动。在“三体问题”被提出的三百年内，仅仅三种类型的解被发现。到了2013年，才有了明显的突破。两个物理学家又发现了13类新特解。

其实，三体运动已经是对实际物理的极端简化了，对质点，球体自转速度、形状等限制条件已经忽略不计了。然而即使是这样，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个问题穷尽一生精力，所得到的结果也仅仅是：多体系统，除已知的十个守恒量（first integral，三维质心，三维动量，三维角动量，能量）外，没有其他守恒量。守恒量可以用来降低解的维度，是当时流行的解动力系统的方法，而这个结果表明该方法对多体问题的解决用处不大。传到民间，这个结果经常被误解为「三体问题无解」，好一点的说法是「无精确解」、「无解析解」。

科学发展到现在，三体问题的求解和应用其实就是一部科学家们穷尽一生苦求无果的心酸简化史。但就像《阿甘正传》电影台词说的：“生活就像一盒巧克力，你永远不知道你会得到什么。”人类在科学摸索之路上也是一样的，因为未知，而摸索到更多的可能性。浩瀚宇宙中真的有外星人吗？准确地说，答案并不确定。但由这个问题引出许多深刻的讨论结果，它们可能比问题本身的解答更为重要。

对于科学家来说，他们不相信哲学家的话，更希望有数学方程解开谜团，绝不会相信什么“专业批发二向箔、光粒，维修曲率发动机、引力波天线，智子主控软件编写，水滴表面打磨抛光，坐标大功率广播代发，黑域打包代邮，回收死线、四维空间碎片，出租小宇宙”这样不着边际的事情，所以关于三体的求解，会一直追寻下去。

④

退而求其次

三体问题简化——「限制性三体」

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既然三体问题这个小魔王都已经如此不好对付了，那就更不用说考虑质点更多的四体问题、N体问题这种超级大魔王了。深谙要稳扎稳打，逐步击破敌人防御塔的地球人决定退而求其次，对三体模型进行简化，因此咱们就有了「限制性三体问题」的研究。限制性三体问题是在二体问题的基础上，加入了一个对二体运动无影响的质点，研究该质点在二体引力作用下的运动。其中根据二体运动规律的不同，将限制性三体问题分为圆型、椭圆型、抛物型以及双曲型等限制性三体问题，暂且不表。我们只谈其中最简单常用的模型——平面圆形限制三体问题。

18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日为了求得三体问题的通解，日思夜想，绞尽脑汁，结果他采用了一个非常极端的例子作为三体问题的结果，并在1772年发表于论文“三体问题”中，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。这个推论的结果是得到5个平动点，又称拉格朗日点，在天体力学中是平面圆形限制三体问题的五个特解。这些点的存在由瑞士数学家欧拉于1767年推算出前三个，法国数学家拉格朗日于1772年推导证明剩下两个。这5个拉格朗日点，只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角形，我们设定这5个平动点分别为：L1，L2，L3，L4，L5。

L1、L2和L3在两个天体的连线上，为不稳定点。若垂直于中线地推移测试质点，则有一力将其推回平衡点；但若测试质点漂向任一星体，则该星体之引力会将其拉向自己。不过，虽然它们是不稳定的，但是可以选取特定的数值使系统原来的解退化为近似周期解，相应的平动点的运动变为稳定的，此时这种稳定称为条件稳定。

对于L4、L5，当0<μ<μ*时（其中μ*满足μ*(1-μ*)=1/27），L4、L5是线性稳定的。对于太阳系中处理成限制性三体问题的各个系统，如日-木-小行星，日-地-月球，……，相应的μ均满足条件0<μ<μ*（μ*满足μ*(1-μ*)=1/27）。对于μ*<μ<1/2的情况，显然是不稳定的。

⑤

消灭三体暴政

世界属于数学

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三体问题像个暴躁的国王，它喜怒无常的出行走路线永远让人捉摸不定。

当人类科学家开始普遍绝望的时候，现实中的拉格朗日点已有所应用。1906年，一颗活泼好动的小行星出现在天文学家的视线里，它不是乖乖地待在火星轨道与木星轨道之间的小行星带里，而是勇敢地追随着木星的步伐一起探险，它的运行轨道和木星是相同的，最奇妙的是，它的绕日运动周期也与木星相同。从太阳上看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星贴近。这颗勇敢好动的小行星被命名为“阿基里斯”，赞誉它是荷马史诗里特洛伊战争中的希腊英雄。

小行星“阿基里斯”的出现，让睿智的科学家们马上联想到这很可能是法国数学家拉格朗日“三体问题”的一个特例，在一番寻觅之中，天文学家很快就在木星之后60°的位置上发现了“阿基里斯”的小伙伴。迄今为止，已有700颗小行星在木星前后这两个拉格朗日点上被找到，这些处在拉格朗日点上的小行星，都以特洛伊战争里的英雄命名。这群探险于太阳系的群星群，有了一个“集体的”称号：特罗央群小行星。“特罗央”，实际上就是古希腊神话中小亚细亚的“特洛伊”城。你看，数学的奥秘，科学的预见是何其美妙呀！深邃夜空中嶙然闪烁的群星，其实是科学智慧结晶的光芒，消灭三体暴政，世界属于数学。

结语

寻找通往三体世界的地图

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虽然《三体》是一本虚构小说，但数学中的“三体问题”却是实际存在的。

三体问题是否真的无解，人类现在还没有办法得出结论，找到了通往三体世界的地图，人类会跃升一个文明等级吗？

量子计算能扮演什么角色？三体属于算力问题，还是规律问题？

是因为文明层次决定了我们在某些问题天然受限，还是因为人类少了伽罗瓦这样的天才？

一切都是未知。摧毁三体的光粒文明，之所以能击中三体的一颗恒星，是因为他们解析出了三体运动，才能精确击中吗？这一切，并非仅仅只是科幻。

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本期编辑｜Hypercube

本期投稿｜李韵阁

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