建筑中的微笑曲线--悬链
作者：杨笑天
形是力的图解。形与力相结合的形态，广泛存在于自然界和生活中。比如，森林中悬垂的藤蔓、粘着露水的蛛丝，以及人类建造的吊桥和输电线，都是形与力高度结合的悬链线 Catenary 形态。
▲ 粘着露水的蜘蛛网
▲ 铁塔之间悬垂的电线
▲ Capilano suspension bridge, Canada
早在1490年，达芬奇绘制《抱银貂的女人》时，曾提出一个问题。女人戴的项链的形状，即在均匀重力作用下，项链自然下垂的形态是什么？
▲ 抱银貂的女人，达芬奇，1490年
伽利略错误地猜测悬链曲线也是抛物线。直到1690年雅各布·伯努利正式提出悬链线问题，向数学界征求答案。1691年他的弟弟约翰·伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式--双曲余弦函数。
▲ 用微积分推导悬链线的过程
值得说明的是，合理的曲线形态与荷载有关。如下图所示，沿跨度投影方向均布的竖向荷载作用下，合理形状是二次抛物线。在沿着构件单元长度均布的荷载下，是悬链线。在沿着曲线法线的均布荷载下，合理形状则是圆弧 (想象一下肥皂泡)。
有趣的是，它们时常以看似“相反”的形式出现。比如，美国圣路易斯的杰斐逊纪念拱门，主要竖向荷载是拱的自重，因此它的合理形状是悬链线。而我们常见的悬索桥，主要荷载是沿跨度方向均布的桥面，它的形状反而是抛物线。
▲ 杰斐逊纪念拱门，高 192 米：悬链线拱
▲ 旧金山金门大桥：抛物线形状的悬索
实际上，抛物线和悬链线的形状差别并不大。对于能承受一定弯矩的刚性结构来说，这种差别带来的影响不大。但对于零弯矩的柔性结构，形态尤为重要。初始的形态偏离越多，加载后的形变越大。
早在17世纪，发现弹性定律的科学家罗伯特·胡克提出，“将悬挂的柔性曲线翻转形成拱”。【"As hangs a flexible cable so, inverted, stand the touching pieces of an arch."】
▲ 胡克和他的发明 (手持悬链线)
高迪 与 逆吊法
19世纪70年代，安东尼奥·高迪(1852-1926) 率先在建筑设计中尝试使用悬链逆吊法，通过实验手段探索空间形态。
▲ 高迪设计的吊挂试验模型
铁链在自重下呈悬链线形态
高迪在圣家大教堂和巴特由之家等建筑中，都经常使用悬链拱，在灯光和色彩的衬托下，构成一个奇幻的视觉空间。
▲ 高迪设计的悬链拱
杰斐逊纪念拱门
说到纪念碑，人们都会联想到厚重的雕塑形象，而由建筑师埃罗·沙里宁设计的杰斐逊纪念拱门(Gateway Arch)则是一个特例。
▲ 悬链线形的杰斐逊纪念拱门 (1967)
高 192 米，建筑师Eero Saarinen
它是一个矢高和拱脚跨度均为192米的悬链形拱。拱身断面为等边三角形，从下到上逐渐收小。拱身外包不锈钢板，表现出雕塑感。
▲ 拱门不锈钢表皮的质感
拱门的悬链曲线由数学家给出公式定义。如果把拱门的曲线与悬链线、抛物线做对比，我们会发现悬链线与拱门完全贴合，而抛物线在拱身有比较大的偏差。
▲ 悬链拱门的曲线公式（单位为英制）
▲ 拱门与悬链线、抛物线对比
浅绿色为悬链线，洋红色为抛物线
▲ 施工中的操作平台和三角形结构断面
悬链形拱门抵抗着巨大自重和风荷载的同时，也上演了光与影、力度与纤细的相互交织。
在拱顶有一个观光瞭望厅，那么如何上去呢？其实三角形断面内是一个空腔，内藏着楼梯通道和胶囊有轨电车，便于人们上下。
讲一个小故事。建造杰斐逊纪念拱门时，两个拱脚同时开始建设。两边即将在顶点汇合的那天，有一万人来见证拱心石的安装。当工人把“拱心石”吊装到位时，却发现预留的间隙小了130mm。
原来是阳光照在拱表面，引起了不均匀的温度伸长和微微弯曲变形。于是消防员用喷水降温，在整体位置校正无误后，才能嵌入“拱心石”。然后又用千斤顶把拱顶撬开1.8m，以抵消拱脚悬臂施工的弹性变形，最终拱顶完全封闭固定。
限于篇幅，其它几个悬链拱项目不便展开。
▲ 布达佩斯火车站
▲ 瑞士博览会水泥馆(1939)，悬链拱形薄壳结构
结构师：罗伯特•马亚尔（1872-1940)
跨度16m，矢高12m，拱顶厚度仅为6cm
悬链屋面与悬链拱相比，有两个特点：
1. 限于建筑使用功能的要求，悬链屋面的垂度(矢高)小，显得比较扁平，由此导致悬链两端巨大的水平反力，需要强大的反力构件。
▲ 悬链屋面的反力构件方案
2. 悬链是形与力高度适应的结果，在均匀荷载下效率非常高，但对集中荷载、不均匀荷载的适应能力差，因此悬链屋面应具有必要的刚度。
杜勒斯机场航站楼
华盛顿杜勒斯机场航站楼，由建筑师埃罗·沙里宁设计。航站主楼最大的特点是大跨度悬吊屋面，犹如老鹰般优雅展翅。据说其设计灵感是系在两根树之间的吊床。
▲ 杜勒斯机场航站楼
Dulles International Airport, 1962
在重力荷载下，屋面自然下垂成悬链状，巨大的混凝土柱子向外倾斜，用以平衡和抵抗悬索端部的水平力。
▲ 建筑剖面简图
悬链的水平拉力 与斜柱轴力的水平分量平衡
航站楼悬垂屋盖跨度约43米，提供了十分开阔的空间，整个大厅内部没有任何立柱的阻碍。
▲ 施工中: 斜柱与柱顶水平反力梁
里斯本世博会葡萄牙馆
1998里斯本世博会葡萄牙馆，是建筑师西扎与结构师巴尔蒙德合作设计的。最有吸引力的部分无疑是一片长67.5米，宽50多米的半开敞公共大厅。
▲ Portugal Pavilion，EXpo1998，LiSboa
▲ 里斯本世博会葡萄牙馆剖面示意图
20cm厚的白色混凝土包裹着高强钢索，悬链屋面跨越了近70m，却轻盈得像是一条毛毯。结构的精妙之处在于，用极轻巧的悬索结构强化了结构的感知。
预拉力是受压混凝土与受拉钢索整合在一起的根本。对钢索施加预应力使混凝土受压，既保证混凝土不开裂；又依靠混凝土薄板提供必要的刚度，以自重抵抗风吸力，并。
▲ 施工过程对预应力控制简图
建筑两侧巨柱以夸张的尺寸暗示着拉力的存在，厚重的巨柱与轻薄屋面形成鲜明的对比。
精妙之处还在于，屋面混凝土板在两端支座处戛然而止，以狭缝断开，暴露出钢索，清晰地表达出结构的逻辑，有着千钧系一发的紧张感。
▲ 混凝土板与支座间的暴露的钢索
阳光从狭缝照进来，带来有趣的光影变化。
▲ 光影的变化
长野奥林匹克纪念体育馆
M波浪(M-Wave)，是1998年长野冬奥会速滑比赛场馆。屋顶形状意象取自信州的山脉，像波浪一样连绵不断。
从建筑草图中我们可以看到，方案之初建筑师即受到杜勒斯机场航站楼悬链屋面的启发。不同的是它采用了当地产的落叶松的层压板木材，富于独创性。
▲ 建筑方案草图
M形屋盖由15个单元组成，每个单元宽约18米，纵向长216米，以其仅仅30cm的厚度，创造出跨度达到80m的无柱空间，并且抵挡着当地严酷的风雪荷载。
▲ 建筑模型，藏于东京建筑仓库
▲ 建筑结构构造解析图
限于篇幅，其它悬链屋面项目不便展开。
▲ Municipal swimming pool
悬链线，是形与力关系的最好诠释，是广泛存在于自然界和生活中的优雅，是建筑中一抹微笑曲线。
最后，如果您读到这里对悬链线感兴趣，不妨尝试着构造一个杰斐逊纪念悬链拱门的模型。Grasshopper提供了悬链线电池，以下是杰斐逊纪念拱门的数学表达和参数，更详线的参数取值请查阅维基百科。
f c = 625.0925 ft (191 m) 为拱的顶点高度；
L = 299.2239 ft (91 m)为两个拱脚跨度的一半；
Qb = 1,262.6651 sq ft (117 m2) 为拱脚等边三角形断面的面积； Qt = 125.1406 sq ft (12 m2) 为拱顶等边三角形断面的面积；
断面三角形从下向上随着高度线性变化。
参考资料：
1. 结构.空间.界面的整合设计及表现，戴航,张冰著
2. 日本结构技术典型实例100选,日本建筑构造技术者协会编,滕征本等译
3. 维基百科
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