一周一定理No.1 中国剩余定理
在最近推出的两篇文章
中，我们都提到了中国剩余定理，虽然我曾在
介绍过，但有点浮光掠影，我们想在此详细介绍一下。
我们期待，本文作为好玩的数学开创的头一个专栏——一周一定理——的开篇，能够打响第一炮。本专栏的开创，学习和借鉴了下述网页（感谢上海交通大学数学系吴耀琨教授向我们推荐）
有兴趣的读者，可以先浏览这个主页上的各个定理。欢迎各位读者为本专栏供稿，投稿邮箱在这里来，一起交流数学。
好了，现在我们直奔主题。
中国剩余定理：设正整数
两两互素，则下述同余方程组
（其中
是给定的整数）的整数解恰好是模
的一个剩余类。事实上，方程 (*) 的通解为
其中
，
而
是同余方程
的一个特解，因而可以用求一术得出。
简单地说，中国剩余定理将一个同余方程组（*）的求解，归结为多个一次同余方程（*i)的求解，而后者可以用求一术来求解。那么，什么是求一术呢？我们表述成一个算法的形式：
求解方程
的整数解的求一术：
首先写出矩阵
然后对第一行两个元素辗转相除，并将对应的操作应用于第二行，直至第一行某个元素变成0（停止信号），此时观察第一行的另一个元素：若它恰好是1（正常信号），则它下方的那个数就是（♣）的一个特解；否则，（♣）无整数解。此外，若已得到（♣）的一个特解，比方说，
那么，（♣）的通解为
注：我们不打算证明求一术，它本质上就是解线性方程组的矩阵变换方法。我们指出，在中国古代还未出现0时，通常是用辗转相减（即“更相减损术”），所以最后终止的信号是，出现的等数（即最大公因子）为1，这就是求一术名称的来由（对此，请参见许光午和李宝[4]）。另一方面，注意到方程（♣）本质上是在求逆，所以，也许一个更恰当的称谓是求逆术。由此可以理解，为什么在下述网页中，作者用了逆的记号来表述结果：
好了，现在我们来实战吧。首先，我们解释上述网页中的例子，即我们要求解同余方程组
为求解这个方程组，我们来求解两个更简单的方程组
与
先看（1），注意到（1）的第二个方程相当于说，
从而代入（1）的第一个方程，就把（1）整个转化为一次同余方程
在这个特殊情况，我们可以直接看出（1*）的一个特解为
类似的，我们来求解方程组(2), 注意到它的第一个方程相当于说
从而（2）可化为线性方程
容易观察到，（2*）的一个特解为
（注：当然你也可以取
因此，根据中国剩余定理，原方程组(0）的通解为
最经典的一个例子，即金庸曾在《射雕英雄传》原著中引用的“鬼谷算题”：
我们留给有兴趣的读者自行研究，其求解步骤，可以参考从射雕到九章——在天大理学院物理系的通俗报告。
而在94版的射雕电视剧中，这个题目被编剧稍微改了改（参见下述链接最后部分），你能算出来吗，你猜神算子瑛姑能算出来吗？
延伸阅读：
[1] 华罗庚，从孙子的“神奇妙算”谈起，数学小丛书，北京，科学出版社。
[2] 蔡聪明，谈韩信点兵问题，《科学月刊》第29卷第9期。电子版可见数学知识网页：http://episte.math.ntu.edu.tw/
[3] 项武义，從韓信點兵和勾股弦說起一一漫談基礎數學的古今中外，《数学传播》，电子版http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d211/21101.pdf（建议在谷歌浏览器打开网页版，并开启翻译功能。近日我们会推出该文的简体版）
[4] 许光午，李宝，大衍求一术的算法意义与分析
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1610/1610.01175.pdf
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