一周一定理No.2 求一术与方程术

刘徽在《九章算术注》中提出了对矩阵同时做行列变换求解方程组的方法.

在本栏目第1期一周一定理No.1 中国剩余定理，我们向大家介绍了著名的中国剩余定理，并引发了读者的热烈反响，感谢大家对本栏目的鼓励支持，以及对具体内容的建议和评论。今天我们想给大家介绍一下求一术及其推广方程术。前者在中国剩余定理的介绍中已经出现，我们先简单回顾一下。

前文一周一定理No.1 中国剩余定理所叙述的中国剩余定理，其关键思想有两个：一是通过（线性方程组的）叠加原理将一个一般的同余方程组分解为多个特殊的同余方程组；而是将特殊的同余方程组（通过换元）转化为一次同余方程的求解，而后者可以用求一术来求解。

按照古人的叙述（注，下述表述与一周一定理No.1 中国剩余定理中的表述略有不同，但实质一样，且更与历史相符），求一术可以表述如下：

求解方程

的整数解的求一术：

首先写出矩阵

然后对第一行两个元素辗转相除，并将对应的操作应用于第二行(用矩阵的语言说，相当于对A做初等列变换)，直至第一行的两个元素都变成不能更小的正整数，此时：若此两个数中有一个数是1，则它下方的那个数是（♣）的一个特解；否则，（♣）无整数解。此外，若已得到（♣）的一个特解，比方说，

那么，（♣）的通解为

我们举个例子。

求一术可以推广成下述求解丢番图方程的方程术。

作为例子，我们来求解“猴子分桃”问题中的丢番图方程，参见张景中院士：五猴分桃问题。

注：我们不打算证明方程术，它本质上就是解线性方程组的矩阵变换方法，这一方法最早记录在《九章算术》中，其中第八章就叫“方程”。有兴趣的读者，可以参见从射雕到九章——在天大理学院物理系的通俗报告。