到底什么是“数学思维”？
作者 | 小鱼老师
转载自肺鱼思维小鱼数学（xiaoyushuxue）
一直在被问。
小鱼数学教的是奥数嘛？
不完全是。我们的知识基础确实是奥数体系，但侧重点不同，我们的重点不在于技巧和知识，而在于数学思维的培养。
那所以，到底什么是“数学思维”？
最近一年来，由于政策上的号召，许多“数学思维”如雨后春笋般冒出尖来，各种传统奥数培训机构也跟着转型，统统转成了”数学思维”。这让五年前就说自己是“数学思维”的小鱼数学很尴尬啊，只好开始新一轮的解释。
好吧，今天我就好好给大家解释一下，我们眼中的“数学思维”到底是什么。
2013年，我刚开始写教材。那时候还没有海星大王和小海，刚创作出小鱼、泡泡和萌萌，整个小鱼魔法故事也刚有雏形，讲的是“小鱼和他的好朋友智斗蟹校长”的简单故事。
我写的第一个系统的故事课程叫做“黄金八讲”，一共8节课，打破传统奥数用题型分模块的方式，提出了八大数学思维，打散题型从思路出发。当时便总结出了有序思考、规律思考、正向思考、逆向思考、整体思考、分组思考、逻辑思考和发散思考八种基本的数学思考方式，也就是数学思维。
这是一套没有“市场”的课，几乎没有年级门槛，一节课学完很难说你学了什么”知识“和”题型”，没办法给家长足够的价值感，甚至连课堂笔记都不太好做。毕竟思维这种东西，很难用公式和定义落实在纸面上。所以随着小鱼数学系统课程的问世，它很快就淡出历史舞台。
但“数学思维”没有谢幕，它一针一线地编织到了我们每一节课程中。
1、有序思考
什么是“有序”？
我认为一是要有“顺序“，二是懂得”分类“。
我想“顺序“是整个数学学科存在的原因。想想我们老祖宗可能就是希望能理清楚我们到底有多少头羊多少头牛，才设计了数学的表达方式。所以只有一个“有序”的人才可能学好数学。
简单举个例子。问你啊，十二生肖都有谁？我猜你马上就会开始“子鼠丑牛寅虎卯兔“，没错，这样特好记对吧？那如果现在要求你乱序说出这12个动物呢?乱序，不能有一点顺序，想到哪个说哪个。
有点难吧？别说十二生肖了，你乱序说说1-10十个数字都困难。非常容易重复和遗漏。
当然，聪明如你可能很快就找到不按照1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的顺序来说，比如1、10、2、9…… 比如1、3、5、7、9、2、4、6、8、10……这不也是“有序”的嘛？所以寻找秩序就是我们的本能，可以方便和简化我们的生活。
“有序”的思考方式在数学里最突出的一种表现方式就是枚举法。在数学中，尤其是高阶数学，常常遇到一些题目有许多可能性，孩子就懵了。但只要是有限的可能性，那就按照顺序排着找也能找到答案啊。大概也是基于这样的信念，才有了后来的计算机技术。
有序思考
6个同样的苹果放到3个同样的筐里，有多少种放法？
关于这道题，不能想到哪个说哪个吧？你最好按照顺序从小到大去想，才能不重不漏的找到所有答案。这个题目非常好，因为有很大的延展空间。我还可以问你“6个同样的苹果放到3个不同的筐里”，“6个不同的苹果放到3个同样的筐里”，“6个不同的苹果放到3个不同的筐里”。
这几个问题本身就是一种“有序思考”的体现，如果你能潜下心来研究，可能会收获4种不同类型的计数题型。
做做试试？有意思吧？😀
所以我反对题海战术，你做“6个苹果”的题目，再做“7个苹果”“8个苹果”，练多了就成了熟练活儿，但我把题目改一个字，把“同样”改成“不同”就完全变了逻辑。所以不如花更多时间研究一道题，刚才我问的这四个问题你若是都能弄明白，那这一类题目就算是彻底弄明白了，等到高中学排列组合也通了。
让孩子建立起顺序和分类思想，就像在脑海中搭起一个架子，这样再储存和提取任何信息都会非常有效率。有序思想是数学最核心的思想，也是数学之所以产生的原因，这种思想的建立不仅可以帮助孩子们解决具体数学问题，更重要的是可以培养一种解决复杂问题的良好心态，这对于孩子今后的学习和生活都会非常有帮助。
2、规律思考
我一直提倡，要把找规律培养成一种本能。就是你看到1看到2，自然就想去找3，这是一种好奇心和探索欲的体现。
找规律不仅是一种数学题型，更是一种科学精神，是我们所有已知知识被发现的主要原因，拥有了找规律的本能就拥有了主动思考的能力，主动性一旦建立起来，学习任何知识都会有事半功倍的效果。
规律思考
1111……1是一个一千位数，求他除以7的余数。
关于这道题，你觉得可能会让你真的算算看嘛？不会，一方面不太可能，另一方面也没有意义。
所以这里面一定有规律！
我经常提醒孩子们，通常你看到省略号，就应该可以开始庆贺了，因为这里一般都有规律，你只要找到规律了，这事儿就容易了。
那怎么找规律呢？这就是另一个问题了。
再来一道题体验一下
规律思考
1，2，（ ）
下一个数字填几？
看到题，很自然地就喊出了3吧？但一定是3嘛？
1，2，4行不行？1，2，4，8，16……是不是有规律？每次都×2呀。
1，2，5行不行？1，2，5，10，17……有规律嘛？相邻两个数差地刚好是1、3、5、7……
1，2，6行不行？1，2，6，24，120……行么？依次×2，×3，×4，×5……
所以1，2，后面填谁都行，从1到2可能是+1，也可能是×2，还有可能是其他的计算方式，一个现象如果只出现一次那不叫“规律“。
我希望孩子拥有找规律的本能，并且能够独立思考，不受惯性思维的束缚和影响。
有序思考和规律思考是我认为最重要的两种数学思想，也是数学最有魅力的地方，如果我们学了很多题型拥有了很多数学技巧，却不能把有序和规律深入到我们的血液中，那数学真的算是学偏了，就好像绕着花园转圈圈，大门口照了张到此一游的照片，没有能真正看到花园的美。
3、正向思考
顾名思义，就是正着思考问题。在这个部分中我想强调两个东西。
一是步骤感。凡事要一步一个脚印去完成，不要跳步骤，要能够获得阶段性的结论。
比如经常看到孩子做应用题，一股脑所有的条件读下来，一个字都没读进脑子里去。这可不行，我们强调在读题的时候每一步都要得出一个结论。你看到“小鱼每分钟走40米”，接着脑子里的反应就是“我知道了小鱼的速度”；你看到“泡泡5分钟吃了100个馒头”，接着脑子里的反应就是“泡泡1分钟吃20个”。不用管题目后面问什么，你读一句就要有一句的结论，这样每一步都稳稳当当，可能自然就走到了答案上。
二是学会建模。很多老师会把倒推建模放在逆向思考中，我认为不是的。能倒推的基础就是能正着走过来，常常是建立在正向思考的基础之上。
正向思考
小鱼有一堆苹果，第一次吃掉了一半，第二次吃掉了剩下的一半，第三次吃掉了4个，还剩6个。问小鱼一开始有几个？
这个题目是典型的倒推法，很多孩子就倒着往回推，就很容易错。这就像减法比加法难，除法比乘法难一样。所以我们提倡先正着把整个过程画出来，主要有以下三种方式：
1.大饼法 | |
2.面条法 | |
3.流程图 | |
不管使用哪种方法，都是先正着理清过程，铺好路，然后再倒着走回来。
正向思考是解决复杂问题的一种基础工具，同时也是一种很好的思考习惯，踏踏实实步步为营。
4、逆向思考
逆向思考是与正向思考相对应的一组思考方式，能正着想自然也能倒着想。这里的“倒“，我认为也有两种含义。
一种是方向上的。
逆向思考
1 2 3 4 5=6，让你在中间的空格中填上合适的运算符号，使得等式成立。
如果正着去想1、2、3、4、5怎么凑个6，就有点费劲了，这就好像一个迷宫有许多入口，你都不知道要从哪个口进。
既然结果只有一个，那我们就试着从后面往前推，先去想最后一个空，前面1234会得到一个结果，这个结果与5运算得6，那最容易想到的就是1+5=6，所以就是1234要凑一个1。四个数去凑一个结果就容易一些了吧？以此类推，倒着找回来。
另一种是范围上的。
逆向思考
1到100中有多少不含数字7的数呢？
这道题，你去正着研究不含数字7的就很难，不信你试试。但是“含有数字7“的就容易一些，可以直接分类为”十位有7的“和”个位有7的”，再把十位个位都有7的去掉一次重复的就好。
这就是排除法了，有时候就是正着想方法太多，而如果思考他的背面或者反面，去一一排除，可能剩下的就是正确答案。福尔摩斯不是有句名言吗，当你把所有其他可能性都排除掉，那剩下的那个无论多不可思议，都是正确答案。
我希望通过这样一个部分让孩子了解思考问题的两种方向，正着想，如果不行就反着想，都去寻找答案，从常规中跳脱出来看到更多可能性，这样就不会把自己局限住，就可以拥有更多解决问题的方法。
5、整体思考
整体思考强调的是大局观，希望孩子们能站到一定的高度去思考问题。
比如我们经常在朋友圈见的“假钱问题”：
整体思考
柴柴拿着一张50块的钱来买蛋卷，一盒蛋卷10块钱，掌柜的要找她40块。但掌柜没有零钱，就去找卖糖葫芦的兑了5张10块零钱，给柴柴找了零。而卖糖葫芦的回来找，说这50块钱是假的，没办法，掌柜又去找卖地瓜干的借了50块钱，还给卖糖葫芦的。请问掌柜一共赔了多少钱？
很多人就跟着这个复杂的流程绕晕了，追着细节走就只能看到细节。那我们整体来看，反正一共四个人，有人赔就有人赚，都是内部循环。那现在卖糖葫芦的和卖地瓜干的有赚赔吗？当然没有，跟他们本来也没啥关系嘛。兑零钱的虽然是假币，但已经换了真的；借钱的也迟早要还的。所以掌柜赔的就是柴柴赚的。
那柴柴赚了多少呢？他来的时候带了一张假币，那就是没有价值，空手套白狼，走的时候带着10块钱的蛋卷和40块钱的零钱，就是赚了这50块钱。所以掌柜赔了50块。
当然，如果题目还有蛋卷的成本，那就需要再多算一步了。总的来说，整体来看就没有那么复杂。
很多孩子在学习和生活中都容易钻牛角尖，没有从更高的角度来观察事情，这样就容易偏离自己原来的目标和方向。我经常说，我希望我的孩子们能“心中有天下”“胸中有丘壑”，这也是一种更豁达更健康的人生态度。
6、分组思考
这明显就是与整体思考对应的，一个是强调建立大局观，一个是强调建立组别概念，研究细节，一个着眼大，一个着眼小。
分组思考
往圆圈里分别填入1、2、3、4、5、6、7，使得每条线上三个数的和是一样的。
关于这道题，七个空从哪里开始呢？你可能比较容易想到从中间开始，那……然后呢？
事实上你要先看破一件事情——除了中间这个数之外，剩下的6个数需要能够两两分组，每组的和要相同，刚好分别放在每条线的两端。
所以题目就变成了——从1到7中去掉一个数后，剩下的6个数如何两两分组。那就需要像跷跷板一样保持平衡，比如如果中间是1，那234567就需要27一组，36一组，45一组，连连线刚好是漂亮的彩虹桥。但2如果放在中间就做不了这么平衡漂亮的彩虹桥了。
分组思考中，我想强调的是把整体分为几个部分，用一个个部分来分析和解决问题，因为这世界上的很多事情本身就是成组成对出现的，如果你能发现这其中的规律和套路，就会建立一种捷径，拥有新的角度，也就是传说中的各个击破。
7、逻辑思考
逻辑是数学的本质，也是很多人喜欢数学的原因，如果逻辑感建立起来，不仅数学学得好，也会有更强的思维能力，头脑会比较清晰，不糊涂。
我把逻辑思考从大类上分为两个基本思路，一是排除，二是假设。
排除就是：我告诉你“一个人不是男的”，那你就可以推理“这是个女的”。把“不是的”去掉，就是“是的”。
假设就是：我不知道“一个人是男的还是女的“，那你接下来可以假设他是男的，然后跟着他验证一下，发现他在商场里直接进了女厕所，那说明你前面的假设矛盾了，那就是女的。
我举这两个也许不是很恰当的例子是为了让你感受排除和假设的区别，一个是解决“确定的问题“，一个是解决”不确定的问题“。大致逻辑方法都可以归到这两种基本思路下。比如常用的表格法、数轴法都是排除思想的一种体现；比如数独有那么多方法，但归其根本也是排除和假设，或者二者结合。
逻辑不只是在数学中能够体现，说话办事都是逻辑能力的一种反映。我经常提倡孩子们多用逻辑连词，”不但而且“”虽然但是““因为所以”之类的，可以迫使我们寻找逻辑的根源，慢慢变得越来越爱思考，拥有更多看待问题的角度。
8、发散思考
这看上去又是跟逻辑思考相对应的。No，这次还真不是。
很多人觉得“发散”就是漫天胡思乱想，但我认为发散本身就需要有逻辑，在有逻辑的基础上才能发散出更多奇妙的想法，这就是传说中的联想，人类文明史上那么多神奇的传说哪一个不是有原型的呢？天使的翅膀跟鸟一样，天上的神明都是人的模样。所以如果想要拥有一个具有发散思维的脑袋，还是需要多积累，在积累各种经验的基础上去放飞自己的想象。
发散思考
小鱼和泡泡家刚好在一条笔直的马路上，海底魔法学院也在这条马路上。已知小鱼家距离学院200米，泡泡家距离学院300米，请问小鱼家和泡泡家距离多远呢？
不知道你能不能一眼看出来这有两个答案，第一种是两个家在学院同一边，第二种是两个家在学院两侧。这种多个答案的题目通常也是需要建立在逻辑之上，如果你要画个图，画一条直线，画上海底魔法学院。接着画个小鱼家，但要画泡泡家的时候就会遇到一个问题，是画在一侧还是两侧呢？现在这是不确定的，那就要假设了，假设两次就得到了两个答案。
发散也要有逻辑。这就像现在很多人提倡的思维导图，有逻辑框架才有想象力和联想力发挥的空间。
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