有理角的三角函数值哪些是无理数？

作者 | 程其襄 

来源 | 《数学教学》, 1955年第一期, P16-18，原标题《三角函数表上的数哪些是无理数》，本文在转载时有适当修改。

（注：如遇公式显示不完整，左右滑动查看。）

现行中学数学课程的划分容易产生一种偏向，即在一门课程里所接触到的问题在另一门课程里往往完全被忽视掉, 因而影响了数学知识的整体性。如像在代数里，我们要谈到有理数无理数的问题，然而在三角函数里，尽管经常和大量的三角函数值打交道，它们的算术性质——是有理数呢？还是无理数？就很少有人问过。这样就难怪一般教师对无理数的知识显得很贫乏，除了 等类型的无理数及 之外，就只知道一些“人工造的”无理数，如像 1.010010001…了。

在这里我们提出“有理角的三角函数值哪些是无理数？”的问题，并且企图用初等的工具来解决它。

首先，我们解释一下什么叫“有理角”，那就是凡形如 的角，这里 及 为整数，且 。由此可知普通三角函数表上以若干度若干分若干秒表示的角全属有理角。关于有理角的三角函数值的算术性质我们可得出下面的一个结论：

有理角的正弦余弦，除了 及 外全都是无理数；有理角的正切，除了 外全都是无理数。

现证明如下：

由de Moivre 公式

比较等式左右两边后, 我们得到

这里的 为正整数。如果 为偶数，则上式的最后一项为 ；如果 为奇数，则上式的最后一项为 。

设 为一个有理角，则 。从而 满足整系数方程

将式(1)依 的降幂整理，并注意到

那么当 为奇数时，得到

当 为偶数时，得到

在这里, 我们要引用一个著名的代数定理：

一个整系数的代数方程

如果有有理根 (其中)，则 。

应用这个定理于(2)和(3)，便知当 为奇数及“形”的偶数时，，其中 (在(3)中，虽然 ，但是 )。再由 ，而 和 同属于“(同一个 )的有理角，故 ” 也必须为 “形”，其中 ，这样便得到关系：

但这关系只有当 时才能成立, 这就是说：当 为奇数或 “形”的偶数时, 只能有 这几个有理值。

其次，当 为“形”的偶数时，因为 的分母为奇数，利用上面已得的结果，便知必有

这就是说：当 为“形”的偶数时， 只能有0这一个有理值。

由于 ，从而也就知道了这几个数也是有理角的正弦值所仅有的有理值。

最后，设 为有理角，而 ，这里 ，那么立刻得到

这就是说 将同时为有理数，但根据上面的结果，一个有理角的正弦及余弦同时为有理数的情况只能限于二者之一为0，而另一个为 的时候。这就是说 0 和 为有理角正切仅有的有理值了。

因此有理角的三角函数就只有

是有理数, 其余的全是无理数。

末了还值得提一下，由于(1)可知所有有理角之余弦(从而正弦及正切)都是代数数。依照伽罗瓦(Galois)理论，还可知道这种类型的代数数都可由整数出发通过有限回数的四则及开方运算而明显的表示出来。至于可用有限回四则及开平方运算表示出来的却只限于一较狭范围的有理角，关于此有高斯(Gauss)著名的结果，可参考奥克涅夫：代数学，在此不多赘述了。

延伸阅读>>博学·慎行·深思——记程其襄先生

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