高考导数：极值点偏移问题之5与6合集

【来源】解忧高中数学杂货店（许兴华数学/选编）

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极值点偏移问题五(杨春波)

——对数平均不等式（本质回归）

回顾

本讲要给的对数平均不等式是对基本不等式的加细．

对数平均不等式：

先给出对数平均不等式的多种证法．

证法1（对称化构造）：

证法2（比值代换）：

证法3（主元法）：

证法4（积分形式的柯西不等式）：

证法5（几何图示法）：

图1

图2

应用

由对数平均不等式的证法1、2即可看出它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式解前面举过的例题．

   再解例1：

再解例2：

再解例3：

再解练习1：

再解例4：同本节例1

   再解例5：同本节例1

再解例7（2）：

再解例8：

再解练习2：

解练习3选项D：

总    结

极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，用对数平均不等式解题的关键有以下几步：

    细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6，读者可尝试），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键．

       最后再举一例．

证法1

证法2

【来源】解忧高中数学杂货店（许兴华数学/选编）

极值点偏移问题六(杨春波)

——泰勒展开（本质回归）

这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明。

图1

图2

以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归．

    极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述．

    至此，我们得到极值点偏移问题的如下判定定理：

  注意：

应用

下面就用这个判定定理再解前面举过的例题．

   再解例1：

再解例2：

再解例4：

再解例6：

    再解例8：

    再解例10：

作者|郑州 杨春波（编辑|吉林长春 王云阁）