错位排列问题.适用高二高三
(南宁三中 许兴华数学)
所谓的“错位排列问题”是一个古老的问题，最先由18世纪瑞士著名数学家贝努利（Bernoulli）提出的，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题。大数学家欧拉（Euler）等都有所研究。下面先给出几道错位排列题目，让大家先有个直观感觉。
（一）日常生活中的错位排列问题
【题1】（1993全国高考题）有4名同学各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写的贺年卡，则四张贺年卡的不同分配方式共有 种.
【题2】 将编号为1，2，3，4的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子放一个小球，且小球的编号与盒子的编号不能同，则共有 种不同的放法.
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位排列问题.
【题3】 五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.
【题3】可以分3类来解决：
（1）所有同学都不坐自己原来的位置；
（2）恰有一位同学坐自己原来的位置；
（3）恰有两位同学坐自己原来的位置.
对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.
在数学学习过程中有很多类似这样的问题，所以我们觉得很有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方法.
(二)全错位排列数的递推公式
（三）全错位排列数的一个通项公式
1.特殊探路：
2.大胆猜想:
根据上面的探索，我们可以猜想n个元素全错位排列的排列数为
其实，以上的猜想可以由“数学归纳法”给出严格的证明【由于篇幅，这里证明从略】
我们在学习排列组合问题时，也许经常会遇到到全错位或部分错位的排列问题，在元素不是很多时，当然可以通过分类讨论的方案解决，但当元素较多时讨论起来将非常的困难，所以掌握了全错位排列数的通项公式和递推公式，将使我们对这一类问题迎刃而解.
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