高考导数拓展：利用拉格朗日中值定理解高考题

（南宁三中  许兴华数学）

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曾经有一天晚上，今日头条网友50119885961邀请我写一写关于“拉格朗日中值定理的证明”（严格地说，这个问题不属于高中数学，而是高等数学内容。但这个定理在高考中非常有用！）。那好吧！今天，我们就来研究一下这个内容，并附以这个定理在高考题中的典型应用，如果认真研读，同学们一定会从中受益。

“拉格朗日中值定理”是高等数学的微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁。在高等代数与数学分析中的一些理论推导中起着非常重要的作用。目前的高中数学教材中没有出现这一定理，在大学课本中对拉格朗日中值定理的应用也只是简单的举了个别例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有高考数学中的典型例子，所以研究“拉格朗日中值定理”在高考中的应用，要求同学们很好正确地理解和掌握它是非常有用的，它往往可以举一反三，触类旁通，从而解决与此有关的问题时出奇制胜。

要证明这个定理，需要先证明一个预备定理，即下面的“罗尔定理”：

下面，我们再用“罗尔定理”来证明“拉格朗日中值定理”：

【几个典型的应用例题】

1.证明函数的单调性

2.证明不等式

3.在高考数学中的应用

近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市高考试卷有关导数的题目往往可以用“拉格朗日中值定理”解答.现在我们将通过一些具体的高考试题，利用拉格朗日中值定理解答，从而体现高观点下用高等数学解高中题的妙处.

【小结点评】这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，如果会用“拉格朗日中值定理证明来解，思路就较为自然、流畅，这充分体现了高观点解题的优越性，说明了学习一些简单的高等数学对解答高考数学压轴题显得非常重要.

【关于“许兴华数学”】

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