【教育思考】尺规作图三大难题
李文革
前 言
前面我们更新了初中阶段5种基本尺规作图的教学微课：
（点击上面文字可跳转到相应微课）
那么是不是用尺规作图可以实现所有的几何作图呢？看完本文你就知道啦~
导 读
一、尺规作图的起源
二、研究尺规作图三大难题的思路
三、可作图的量的范围
四、尺规作图三大难题不可能的证明
五、尺规作图的教学
华东师大版《初中数学》八上91页至92页用“阅读材料”的形式介绍了尺规作图三大难题。有一段时间我们收到一些教师、学生，甚至家长的来信来电，声称自己解决了“三等分任意角”问题。为此，我们感到有必要介绍一下尺规作图三大难题不可能的证明。
著名的尺规作图三大难题是指如下三个问题：
●立方倍积：求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的两倍；
●三等分任意角；
●化圆为方：求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积。
2000多年来，尺规作图三大难题引起了许多数学家的兴趣，对它们的深入研究引出了大量的新发现。例如，导致了许多二次曲线、三次曲线以及几种超越曲线的发现，促进了关于有理数域、代数数和超越数、群论等理论的发展，并促进了微积分的先导——穷竭法的发展。1837年，法国数学家旺策尔（Wantzel，1814-1848）证明了三等分任意角和立方倍积问题都不可能。化圆为方问题相当于用尺规作出π的值。1882年德国数学家林德曼（Lindemann，1852-1939）证明了π是超越数（即它不是任何一个整系数多项式方程的根），从而证明了化圆为方不可能。
一、尺规作图的起源
古希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上。他们研究的主要目标之一是用数学来了解宇宙是怎样运转着的，而且把重点放在抽象推理方面，并以使理性统治遍及整个自然界和人类为宗旨。古希腊人认为直线和圆是基本图形，而直尺和圆规是其具体化，因此用这两种工具作图比较好。而其他机械工具过于依赖感觉境界而不甚依赖思想境界，这与他们崇尚理性的风格背道而驰。因此，他们立下规矩：几何作图只能用直尺和圆规。这种选择是人为的，但很大程度上决定了后来平面几何研究的走向，例如，《几何原本》中有很多命题都是讲如何用尺规作图的。人们研究尺规作图问题往往并不是要把图实际作出来，而是从理论上说明只用直尺和圆规能否找出作图的方法。
二、研究尺规作图三大难题的思路
1.通过刻画所有可作图问题的特性来证明不可能
历时若干世纪，人们毫无所获地寻求着尺规作图三大难题，后来逐渐怀疑这些问题可能根本就不可解。怎样才能证明某种问题是不可解的呢？人们转换思路：从不可能这样的反面问题转向正面问题——怎样才能完全刻画出所有可作图问题的特性呢？找到了这个问题的答案之后，只要说明尺规作图三大难题不属于这个范围即可。
2.用代数方法证明尺规作图三大难题的不可能性
任何一个几何作图问题都可以描述成以下类型：给定某些线段如a、b、c…求作一条或多条其他线段x、y…为了简单起见，假设只需求作一条线段x。于是，几何作图就归结为解一个代数问题：
首先，必须找出所求的量x和给定的量a、b、c…之间的关系（方程）；
其次，通过解这个方程求出x；
最后，确定通过相应于用圆规和直尺来作图的代数过程能否得到这个问题的解。
三、可作图的量的范围
如图1～4所示，已知线段a、b，可作a＋b、a－b、ab、a/b。
图1
图2
图3
图4
这说明，只要给定单位1，我们就可以用尺规作出有理数域Q。
图5
四、尺规作图三大难题不可能的证明
1. 立方倍积问题
设给定的立方体是单位立方体，它的边长是单位长度。若体积为这个立方体体积两倍的立方体的边长是x，则
我们已经证明该方程没有二次不尽根，因此，立方倍积问题不可解。
2. 三等分任意角
图6
要证明三等分任意角不可能，只需证明有一个角（例如60°角）不能三等分就够了。下面我们证明60°角不能三等分。
我们已经证明该方程无二次不尽根的解，因此三等分任意角是不可能的。
3. 化圆为方
五、尺规作图的教学
对尺规作图应有以下几点认识：
●限定用直尺和圆规作图是人为的；
●规定只用直尺和圆规作图的初衷是对理性思维的追求，我们应该“不忘初心”；
●从方法论的角度来说，尺规作图的意义不大（特别是在作图工具丰富的今天！）。
因此，对尺规作图的教学，不能仅要求学生记住作图步骤，会按步骤操作，而应“教思维”——以尺规作图为载体，提高学生的思维水平。例如，如图7，作角平分线，应该给学生讲清思路——作∠AOB的平分线，归结为把弦DE（或弧DE）平分，而不能仅要求学生记住作图步骤。
图7
参考文献
[1] R·柯朗，H·罗宾. 什么是数学：对思想和方法的基本研究（中文版第四版）[M]. 左平，张饴慈，译. 上海：复旦大学出版社，2017.
[2]张顺燕. 数学的源与流（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2003.
[3]顾森. 思考的乐趣[M]. 北京：人民邮电出版社，2012.
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