【七年级】数学 · 期中复习1 零点分段法破解动点专题
The following article is from 积余鼎尖数学教学 Author 张鼎文
写在前面
期中考试迫在眉睫，计划用2讲的内容帮助同学们复习：
第一讲，动点专题
第二讲，易错题整理
前者助你难题得高分，后者助你容易题不扣分！加油吧，同学们！
一、知识准备
我们知道，一个数的绝对值的几何意义是数轴上表示这个数的点与原点之间的距离，那么，在数轴上，两点之间的距离，可用两点表示的数作差，取其绝对值．
而A，B的中点到A，B两点的距离是相等的，我们可以利用距离相等来列方程，也可以利用点A表示的数加上AB距离的一半，或点B表示的数减去AB距离的一半来表示．当然，把中点和“考试平均分”联系起来，就能快速得到答案，将A，B两点表示的数相加，再除以2即可．
运动后，点表示的数只需用运动前表示的数加上或减去运动的路程，注意，向右加，向左减．
运动后，两点的距离依然是算出两个点所表示的数的差，再作绝对值．
解答：
注意
由于时间t必然取非负值，因此，有些含t的代数式的绝对值，可以直接化简．
如：
但是，有些绝对值化简需要使用零点分段法．
例如：
式中，可令绝对值为0的两个t分别是1或2，即零点有2个，这两个点将数轴分成了三段，我们可以根据三段的范围，化简绝对值
①当t＜1时，原式＝(1－t)＋(2－t)＝3－2t
②当1≤t≤2时，原式＝(t－1)＋(2－t)＝1
③当t＞2时，原式＝(t－1)＋(t－2)＝2t－3
二、典型例题
例1：
已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足(c－5)²＋|a＋b|＝0
(1)请直接写出a、b、c的值．a＝_________，b＝_________，c＝_________．
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，
当0≤x≤2时，请化简：|x＋1|－|x－1|＋2|x＋5|
(3)在(1)(2)的条件下，点A以每秒1个单位向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位和5个单位的速度向右运动， t秒钟后，请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，说明理由；若不变，求其值．
分析：
(1)问不难，(2)问中，理应有3个零点，但由于给出了x的范围，在这个范围内，只有一个零点，即x＝1，因此，只需分2段讨论，化简．
(3)问中，表示出t秒后，A，B，C所表示的数，然后作差取绝对值化简即可，一般这种题答案都是不变．
解答：
例2：
A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，是【B，A】的好点．
知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为－2，点N所表示的数为4．
(1)数___________所表示的点是【M，N】的好点；
(2)如图3，点A所表示的数为－20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
分析：
(1)显然，我们可以设这个数为x，写出这个数表示的点与M，与N的距离，前者为后者的2倍即可，需要注意的是，要利用零点分段法，化简绝对值．
而且有一个这样的经验，如果是2个零点，则一般分3段，第一段化简后的方程的解和第三段化简后的方程的解是一样的，但必然有一种情况要舍去！
(2)首先，我们要明确动点P的位置，在A，B两点之间，因此，我们在表示PA，PB，AB时，可以不用考虑绝对值，即PA＝点P表示的数－点A表示的数，PB＝点B表示的数－点P表示的数，AB＝点B表示的数－点A表示的数，但是，值得注意的是，这里的情况有多种，点P既可以是【A，B】的好点，也可以是【B，A】的好点，因此，共有2×3，6种情况．
解答：
例3：
点A、M、N、B对应的数分别为－1、0、2、11．线段MN以每秒1个单位的速度向右移动，时间为t秒．
(1)用含有t的代数式表示AM的长为__________． (2)当t＝_________秒时，AM＋BN＝11．
(3)若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出t的值，若不相等，请说明理由．
分析：
本题不要受线段的影响，只需关注线段的两个端点M，N的变化．
(1)表示出t秒后，点M表示的数，与点A表示的数－1作差，取绝对值，再化简．
(2)表示出AM，BN的长度，建立绝对值方程，再求解．
(3)同(2)，表示出t秒后，A，M，B，N表示的数，再表示AM，BN，建立方程求解．
解答：
小结
数轴动点问题，是初一上学期的一个难点．其中蕴含了数形结合思想，方程思想，分类讨论思想，综合性很强．我们在解题时，需要把握三个武器：
(1)中点的表示方法，
(2)t秒后，每个点所表示的数，
(3)两点之间的距离
也需要掌握一个秒题秘诀，建立关于时间t的绝对值方程，用零点分段法分类讨论化简．
同时，要转变思考角度，比如，在不涉及往返的动点问题中，
提问：两个动点何时相遇(或一个点追上另一个点)，我们无需再用小学阶段的思维，
路程和＝速度和×时间(路程差＝速度差×时间)，
而只需满足相遇或追上时，这两个点所表示的数相等即可．
三、练习精选
例
1、在数轴上，A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，
且a、b满足|a＋2|＋(c－7)²＝0．
(1)a＝_________，b＝_________，c＝_________；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_________表示的点重合；
(3)若点A以每秒1个单位向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位和4个单位向右运动，请问：3BC－2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，说明理由；若不变，请求其值．
解析：
例
2、点A、B分别表示的数是6、－12，M、N、P为数轴上三个动点，它们同时都向右运动．点M从点A出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为点M的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．
(1)当运动t秒时，点M、N、P分别表示的数是_________、_________、_________；
(2)求运动多少秒时，点P到点M、N的距离相等？
解析：
例
解析：
本讲思考题
点P、Q在数轴上表示的数分别是－8、4，点P以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒1个单位的速度运动．设点P、Q同时出发，运动时间为t秒．
（1）若点P、Q同时向右运动2秒，则点P表示的数为_______，点P、Q之间的距离是______个单位；
（2）经过__________秒后，点P、Q重合；
（3）试探究：经过多少秒后，点P、Q两点间的距离为14个单位．
本期答案， 见下一讲哦！
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期中测试题
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