九上尖子生培优系列(41) ——圆的有关性质（3）

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        数学科是“练”的科目，如果在学习中缺少练习或者练习量不够，达不到熟练程度，即便课堂上听得再清楚明白，也未必能在实际应用中运用自如，临场发挥也就不会正常、顺利，尤其是遇到带有“一定思维含量”的试题就不能随机应变。况且课堂上受教学时间和全班同学的能力差异影响，老师们无法对每一位学生“细致入微”地照顾，于是造成了众多的优秀生“吃不饱”的现象。

       为此，本公众号近期陆续推出相应章节知识的精选试题解析与同步对应练习解析（含详细解答过程），以弥补课堂教学时间和教学容量的限制，为优秀生提供更优质的阅读和训练机会，便于家长检测孩子掌握知识的情况，同时也为教师查阅相关知识的拓展和延伸资料提供方便。力求做到：所选的试题尽量与课时同步，又有适当的提升，当然更重视知识内容的实际演练。为了不花费孩子们更多的时间，每日只发布“一例一练”（个别小知识点除外），精析每一道题，为孩子、家长和老师提供方便。

【例题】如图，点P（1，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO=45°，求点B的坐标．

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【解析】先画出符合条件的点B，显然有两个答案，如下图示：

       由于∠BAO=45°且是特殊角，又是圆周角，同时圆心又是已知的点，因此不难想到圆周角定理，连接OP和B₁P（B₂的求法也类似），得到∠OPB₁＝90⁰，联想到90⁰（直角）的相关辅助线（之前已有多篇文章叙述这组辅助线），如下图示：（多种解法，均类似，仅提供一种）

       通过全等，不难得到PD＝OC，B₁D＝PC，而P（1，2），所以PD＝OC＝2，B₁D＝PC＝1，因此不难求得：B₁（3，1）.

       B₂的求法与B₁类似，也可能利用90⁰（直角）的相关辅助线来求，但最快的办法是通过“平移或中心对称”来求，如下图示：

       不难得到：B₁、P、B_­2在一直线上，因此可以认为：B₁（3，1）如何平移到点P（1，2）时，那么点P（1，2）也以同样的平移方向和距离平移到B₂，根据“平移的性质”，不难得到B₂（1－2，2+1），即B₂（－1，3）.

       综上，点B的坐标为（3，1）或（﹣1，3）.

【反思】充分利用圆周角定理，转化为“直角”相关的全等问题，再通过平移的方法求全符合条件的答案.

【变式与拓展】如图，点B（5，2），⊙P经过原点O，交y轴正半轴于点A，点B在⊙P上，∠BAO=45°，求圆心P的坐标．

（答案下期找）

【上期答案】

【原题呈现】如图，AB是⊙O直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=6cm，求B、A两点到直线CD的距离的差.

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