九上尖子生培优系列(43) ——圆的有关性质（5）

---

（点击“初中数学延伸课堂”关注)

【例题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在线段AC上有一动点P（P不与C重合），以PC为直径作⊙O交PB于Q点，连AQ，求AQ长的最小值．

---

【分析】求最值相关问题，往往有两种方法：一是找出所求最值的量（AQ）与动点间的函数关系，再转化为求函数的最值问题；二是用几何方法找出最小值的点，此时必须先找出与所求的量AQ中相关的动点（或因（被）动点）的运动路径，然后用几何相关的知识进行求解。

      对本题来说，由于A是定点，Q是“因（或被）动点”，要求出AQ的最小值，当然应该知道Q点的运动路径如何，才可找到AQ的最小值。因Q点在以PC为直径的圆上，连接CQ，不难得到可得∠PQC= 90°，进一步得到∠BQC =90°（定角），而∠BQC中点B、C均为定点，因此点Q必在BC为直径的⊙O上，继而知当点Q、A、O三点共线时AQ最小。如下图示，

      根据勾股定理求得AO的长，即可得线段AQ的最小值．

下面，请认真观察本题的动态演示.

---

---

【详细解答过程】

解：如上图，连接CQ，则∠PQC=∠BQC=90°，

∴点Q在以BC为直径的⊙O上，

∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，

∴BC=3，∴CO=QO=1.5，

∴当点Q、A、O三点共线时，AQ最小，

---

---

【点评】“动中有静”，本题中的“静”即PC是直径可得到∠BQC＝∠PQC＝90⁰（“他山之石”），从而得到Q点的运动轨迹路径，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题(“可以攻玉”)．

【变式与拓展】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在直线AC上有一动点P（P不与C重合），Q点BC的中点，过A点作直线PB的垂线，垂足为D，连接QD，求QD长的最大值和最小值. 

（改编题，答案下期找）

上期答案

【原题呈现】已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=30°，求点C坐标．

【解法提示】类似例题的解法：

---

---

特别推荐：

       数学科是“练”的科目，如果在学习中缺少练习或者练习量不够，达不到熟练程度，即便课堂上听得再清楚明白，也未必能在实际应用中运用自如，临场发挥也就不会正常、顺利，尤其是遇到带有“一定思维含量”的试题就不能随机应变。况且课堂上受教学时间和全班同学的能力差异影响，老师们无法对每一位学生“细致入微”地照顾，于是造成了众多的优秀生“吃不饱”的现象。

       为此，本公众号近期陆续推出相应章节知识的精选试题解析与同步对应练习解析（含详细解答过程），以弥补课堂教学时间和教学容量的限制，为优秀生提供更优质的阅读和训练机会，便于家长检测孩子掌握知识的情况，同时也为教师查阅相关知识的拓展和延伸资料提供方便。力求做到：所选的试题尽量与课时同步，又有适当的提升，当然更重视知识内容的实际演练。为了不花费孩子们更多的时间，每日只发布“一例一练”（个别小知识点除外），精析每一道题，为孩子、家长和老师提供方便。

扫描二维码，添加关注后，进入公众号，输入数字“1”可获得免费的《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）的学习地址.

强调：本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），正在火热进行中，每周两场现场直播！就算是“0”基础，也能把它学好，赶紧加入哦！