九上尖子生培优系列(44) ——圆的有关性质（6）

---

（点击“初中数学延伸课堂”关注)

【例题】如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，以为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，求线段OA长的最大值．

【分析】类似前面两期的分析，需找“动中有静”中的“静”.由已知条件知：OB＝OC＝4×根号2，BC＝4，所以△OBC是确定的，即是“静”的，而由“BC＝4和∠BAC＝45⁰”可以得到：点A不是确定的，定角（45⁰）定线段BC＝4构成的△ABC的顶点A应该在某一圆（弧）上动，同时45⁰＝直角度数的一半，再根据“圆周角定理”可得到：点A在优弧BAC运动，如下图示：

同时，过A、B、C三点的圆的圆心应是：

       即圆心P与B、C构成的△PBC为等腰直角三角形，此时⊙P的半径为2×根号2，此时求OA长的最大值，就转化为通常的“求圆外一点到圆（弧）上的点的距离的最大值，因此不难得到：当OA经过圆心P时，OA的长最大。如下图示：

       此时OA垂直平分BC，根据垂径定理和勾股定理不难得到：

       另解：当A点在任意位置时，过O点作OF⊥BC于F（此时OF为定值），连接AF，则有OA≤OF+AF，显然当O、F、A三点成一线时，OA的长最大.

【反思】本题又一次体会到“构虚圆”法找最值，定角定线段。定角为45⁰较特殊，若为其他特殊定角（如30⁰或60⁰）或更一般的角或角的条件，解法类似，但会涉及到九下相似或三角函数内容。

【变式与拓展】如图，△ABC中，BC=8，∠BAC=45°，AB＝为半径，以BC为一边，向外作△PBC，满足∠BPC＝30⁰，连接AP，求AP的最大值.（要求找出AP长的最大值时点P的位置，并简单给出解题思路，不进行计算.）

【上期答案】

【原题呈现】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，在直线AC上有一动点P（P不与C重合），Q点BC的中点，过A点作直线PB的垂线，垂足为D，连接QD，求QD长的最大值和最小值. 

【解法提示】

       与例题解法类似，如下图示：

---

---

特别推荐：

       数学科是“练”的科目，如果在学习中缺少练习或者练习量不够，达不到熟练程度，即便课堂上听得再清楚明白，也未必能在实际应用中运用自如，临场发挥也就不会正常、顺利，尤其是遇到带有“一定思维含量”的试题就不能随机应变。况且课堂上受教学时间和全班同学的能力差异影响，老师们无法对每一位学生“细致入微”地照顾，于是造成了众多的优秀生“吃不饱”的现象。

       为此，本公众号近期陆续推出相应章节知识的精选试题解析与同步对应练习解析（含详细解答过程），以弥补课堂教学时间和教学容量的限制，为优秀生提供更优质的阅读和训练机会，便于家长检测孩子掌握知识的情况，同时也为教师查阅相关知识的拓展和延伸资料提供方便。力求做到：所选的试题尽量与课时同步，又有适当的提升，当然更重视知识内容的实际演练。为了不花费孩子们更多的时间，每日只发布“一例一练”（个别小知识点除外），精析每一道题，为孩子、家长和老师提供方便。

扫描二维码，添加关注后，进入公众号，输入数字“1”可获得免费的《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）的学习地址.

强调：本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），正在火热进行中，每周两场现场直播！就算是“0”基础，也能把它学好，赶紧加入哦！