2017-2018学年福建福清九上期中考倒一画板解析

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【试题】已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A（－2，0）.

（1）填空：c=______(用含b的式子表示)

（2）若b<4.

      ①求证：抛物线与x轴有两个交点；

      ②设抛物线与x轴的另一个交点为B，当线段AB上恰有5个整点（横坐标、纵坐标都是整数的点），求b的取值范围；

（3）平移抛物线，使其顶点P落在直线y=3x－2上，设抛物线与直线的另一个交点为Q，C在该直线下方的抛物线上，求△CPQ面积的最大值.

【图文解析】

（1）只需直接将A（－2，0）代入y=x²+bx+c，再用b的式子表示c即可.

      即4－2b+c=0，得c=2b－4.

(2) （认真观察动画，体会过程）

①法一：显然只需证明当b＜4时，△＞0即可.

    △＝b²-4×1×c＝b²-4×1×(2b－4)

      　= b²-8b+16=(b－4)²,

      ∵b<4，∴(b－4)²＞0，即△＞0.

      ∴抛物线与x轴有两个交点.

法二：当然也可通过因式分解，得到：

      y=x²+bx+c＝x²+bx+2b－4

      当y=0时，x²+bx+2b－4＝0

      因式分解，得(x+2)(x+b-2)＝0

      解得x₁=－2，x₂=－b+2.

      ∵b<4，∴－b+2＞－2.

      ∴抛物线与x轴有两个交点.

②由上述法二或求根公式不难得到：

      B（－b+2，0）且在A点的右边，

      ∵线段AB上恰有5个整点

      ∴2≤－b+2＜3.

      所以－1＜b≤0.

（3）（认真观察动画，体会过程）

    因抛物线的顶点P在直线y=3x-2平移，因此可设P（t，3t－2），则此时抛物线的解析式可设为：y=(x－t)²+3t－2，相应的点Q坐标可以通过联立直线PQ和此时的抛物线解析式求得：

(x－t)²+3t－2＝3x－2，整理得：(x－t)²－3（x－t）＝0，即（x－t）(x－t－3)＝0，得到：x₁=t，x₂=t+3.所以Q的横坐标为t+3，当x=t+3时，y=(t+3－t)²+3t－2=3t+7，所以Q（t+3，3t+7）,如下图示：

      （此时由勾股定理，可求得PQ＝3×根号10(定值)，实际上，只要是定直线，若有两交点，则两交点的距离均为定值，上述动态演示也有体现，但本题解法中不需要）

法一：（最常用）如下图，过C点作CM∥y轴交直线PQ于M.

      现设动点C（x, (x－t)²+3t－2），则有M（x，3x－2）,得到CM＝y_M－y_C=……＝－(x－t)²+3(x－t).

      如下图示，进一步得到：

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