九上尖子生培优系列(45) ——圆的有关性质（7）

---

（点击“初中数学延伸课堂”关注)

【例题】如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE²+PF²=8，求AB的长．

【解析】因PE、PF均为EF（弦）的一部分，与弦相关的常用辅助线，如下图示：

       想方设法利用“垂径定理”构造直角三角形，但因本题的条件不是“单纯”的，因此：

       法一：常通过设元——用方程思想解决问题。如下图示：

       由已知条件PE²+PF²＝(a+b)²+(a－b)²=……＝2（a²+b²）＝2OE²=8，所以OE²＝4，得OE＝2（负值舍去）——半径，所以AB＝2OE＝4.

法二：可通过对称，将PE和PF两线段进行联系，作E点关于AB对称点E’（或作F点的对称点F’），连接PE’、OE’、OE、OF、E’F，如下图示:

       不难证得：∠1=∠2=∠EFE’=0.5∠EOE’，PE=PE’、∠E’PF＝90⁰，于是E’F²=P E’²+PF²= PE²+PF²=8，得到＝2×根号2.

       又∠2+∠POE’=180⁰，从而得到∠EFE’+∠POE’=180⁰，进一步，又得到∠OE’F+∠OPF=180⁰(根据四边形内角和为360⁰)，由于∠OPF=180⁰－45⁰＝135⁰，因此可以得到∠OE’F =45⁰，如下图示：

       得到△E’OF是等腰直角三角形，因此OF＝E’F÷根号2＝2，故AB＝4.

（此法虽然较繁，但其思路非常清晰）

【反思】本题的两种解法，都是几何解题中常用的方法和思路——方程转化思想和对称变换转化思想.

【拓展与变式】如图，⊙O的直径AB与弦EF所在的直线相交于点P，交角为45°，若PE²+PF²=8，求AB的长．

【上期答案】

【原题呈现】如图，△ABC中，BC=8，∠BAC=45°，AB＝为半径，以BC为一边，向外作△PBC，满足∠BPC＝30⁰，连接AP，求AP的最大值.（要求找出AP长的最大值时点P的位置，并简单给出解题思路，不进行计算.）

【解法提示】

       以BC为一边向左上侧作等边三角形OBC，再以O为圆心，OC长为半径作圆，则符合条件的点P必在如下图示BC为弦的优弧上：

       不难得到当AP经过⊙O的圆心O时，PA最大.如下图示：

       如下图示，其中CM和BM、AM的方法是常见的解题思路（添加高线，构造直角三角形），然后利用勾股定理，求出此时AP的值.

---

---

特别推荐：

       数学科是“练”的科目，如果在学习中缺少练习或者练习量不够，达不到熟练程度，即便课堂上听得再清楚明白，也未必能在实际应用中运用自如，临场发挥也就不会正常、顺利，尤其是遇到带有“一定思维含量”的试题就不能随机应变。况且课堂上受教学时间和全班同学的能力差异影响，老师们无法对每一位学生“细致入微”地照顾，于是造成了众多的优秀生“吃不饱”的现象。

       为此，本公众号近期陆续推出相应章节知识的精选试题解析与同步对应练习解析（含详细解答过程），以弥补课堂教学时间和教学容量的限制，为优秀生提供更优质的阅读和训练机会，便于家长检测孩子掌握知识的情况，同时也为教师查阅相关知识的拓展和延伸资料提供方便。力求做到：所选的试题尽量与课时同步，又有适当的提升，当然更重视知识内容的实际演练。为了不花费孩子们更多的时间，每日只发布“一例一练”（个别小知识点除外），精析每一道题，为孩子、家长和老师提供方便。

扫描二维码，添加关注后，进入公众号，输入数字“1”可获得免费的《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）的学习地址.

强调：本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），正在火热进行中，每周两场现场直播！就算是“0”基础，也能把它学好，赶紧加入哦！