九上尖子生培优系列(46) ——圆的有关性质（8）

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【例题】如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求AD的长．

【解析】由“E是弧BC的中点（即平分劣弧），BC=8cm，DE=2cm”知，显然条件与弦密切相关，想到垂径定理的相关结论，可得到BD＝CD＝0.5BC＝4cm，同时设法构造直角三角形，利用勾股定理（常法）求解。因此可设半径OB＝r，则OD＝r－2，如下图示，在Rt△BOD中，有r²=4²+(r－2)²，解得r=5.从而AB＝2OA＝10.

       另一方面，由“AB是半圆的直径”可联想到直角，因此可连接AC，如下图示，得到∠ACD＝90⁰，同时OD是△ABC的中位线，得AC＝2OD＝2（r－2）=6，（或在△ABC中由勾股定理求得AC的长），再在△ACD中，由勾股定理不难求得AD的长. 

【反思】本题并不难但综合，综合运用圆周角定理和垂径定理的相关推论，然后根据勾股定理作答。

【变式练习】如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，AD=2×根号13cm，求圆O的半径．

（答案下期找）

【上期答案】

【原题呈现】如图，⊙O的直径AB与弦EF所在的直线相交于点P，交角为45°，若PE²+PF²=8，求AB的长．

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