2017年泉州六中八年级上学期期中考第23题（稍改）解析

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（泉州六中初二期中考第23题稍改）如图，已知等边△ABC，点D为AC边上的中点，点E在线段AB上，且∠EDF=120°。

（1）求BE+BF与BC的关系；

（2）求证：ED=DF.

解析：（1）BE+BF=3/2BC，

（2）由（1）得，△HDE≌△CDF，故ED=DF。

思路：（1）找特殊位置。

△ABC为等边三角形→当点F与点C重合时，△AED也为等边三角形→AE=AD

点D为AC中点→AD=1/2AC=1/2BC

如下图，

        BE+BF=  AE+BC =  1/2BC+BC= 3 /2BC

进一步，点E在线段AB的任意位置时：

BE+BF=BE+（BC+CF）=（BE+CF）+BC

→将CF转到直线BE上→过点D作DH∥BC（截长“补短”）

→易证△HDE≌△CDF（ASA）→HE=CF

→BE+CF=BE+EH=BH

→BH=1/2AB=1/2BC

→BE+BF=3/2BC.

证全等具体如下：

△AHD为等边三角形→AD=HD

　　又D为AC中点→AD=DC→HD=CD  ?

∠HDC=∠EDF=120°→∠HDE=∠FDC ?

∠EHD=∠FCD=120°?

由???得：△HDE≌△CDF（ASA）

故ED=DF.（全等三角形的对应边相等）

法二：找特殊位置，点B与点E重合，猜：BE+BF=3/2BC

进一步，角平分线翻折，

第（1）问用此法做麻烦，还需要过点D做DM∥AB交BC于点M。不做叙述.

 （2）如图，令∠EDB=x，∠DE’C=30+x=∠DFC，所以DE’=DF，所以DE=DF.

反思：若点F在线段BC上时，如下图，同理，结论依然成立。

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