九上尖子生培优系列(47) ——圆的有关性质（9）

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【例题】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，根号2），求四边形ABCD的面积的最大值与最小值．

【解析】由于AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积＝0.5×AC×BD（解答时，需证明），因此本题就转化为求0.5AC·BD的最值。由于AC和BC均为弦，半径为2已知，自然想到垂径定理，因此，可添加如下图所示的辅助线，目的是构造垂径定理和勾股定理条件。

       同时又得到四边形OEMF是矩形，若设OE＝m，OF=n，如下图示，有：

       同时，因M（1，根号2），不难得到OM，从而建立了m与n的关系。如下图示：

       我们知道（a－b）²≥0，即a²－2ab+b²≥0，得2ab≤a²+b²(当a=b时，等号成立)，所以S_{四边形ABCD}＝2ab≤a²+b²＝5 .（此时OM平分弦AC与BD相交构成的角）

所以当a=b时，四边形ABCD的面积最大值为5．

       当mn＝0时，此时m=0或n=0，即其中一条弦过原点中，四边形ABCD的面积最小，最小值为4.

       综上所述，四边形ABCD面积最大值与最小值的分别为5和4．

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【反思】当对角线互相垂直时，四边形的面积等于对角线乘积的一半.本题用到最值时两种转化方法.（其中求最大值所用的方法（a²+b²≥2ab），本质就是高中的均值不等式。

【变式与拓展】如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙ 46 32382 46 14985 0 0 2111 0 0:00:15 0:00:07 0:00:08 2925span>O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，根号2），当AC∥x轴时，求四边形ABCD的面积．

【上期答案】

【变式练习】如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，AD=2×根号13cm，求圆O的半径．

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