八上尖子生培优系列（43） ——整式的乘法（6）

---

（点击“初中数学延伸课堂”关注)

【例题】式子(2x－1)⁵=(2x－1) (2x－1) (2x－1) (2x－1)(2x－1)（可化为五个相同的多项式相乘），按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，其中a₅、a₄、a₃、a₂、a₁、a₀为乘积展开式各项的系数，因此，(2x－1)⁵ =a₅x⁵+a₄x⁴+a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀．

（1）求a₀与a₅的值；

（2）求a₀+a₂+a₄和a₁+a₃+a₅的值．

【解析】

（1）根据所给材料和多项式乘以多项式的法则，不难得到：当x=0时，左边＝－1，右边＝a₀，所以a₀＝－1．又因为a₅是x⁵的系数，因此a₅＝2⁵＝32．

（2）当x=1时，（2－1）⁵=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀

       即a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀ ＝1……①

　当x=﹣1时，

       [2×(－1)－1]⁵=﹣a₅+a₄﹣a₃+a₂﹣a₁+a₀        

即﹣a₅+a₄﹣a₃+a₂﹣a₁+a₀＝－243……②

①+②，得：2(a₀+a₂+a₄)=－242,

       即a₀+a₂+a₄＝－121.

①－②，得：2(a₁+a₃+a₅)=244,

       即a₁+a₃+a₅＝122.

综上，a₀+a₂+a₄＝－121及 a₁+a₃+a₅＝122.

【反思】重点要理解试题所给的信息，利用多项式的乘法法则和特殊值代入时所得到的各个系数的关系进行对比求得。

【练习】阅读下文，寻找规律，并解答问题：

已知x≠1，计算：

(1﹣x) (1+x)=1﹣x²

(1﹣x) (1+x+x²)=1﹣x³

(1﹣x) (1+x+x²+x³)=1﹣x⁴

(1﹣x) (1+x+x²+x³+x⁴)=1﹣x⁵

…

(1）观察上式猜想：

    　(1﹣x) (1+x+x²+x³+…+xⁿ)=＿＿.

(2）根据你的猜想计算：

       ①1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴

       ②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ．

（答案下期找）

培优系列（42）练习答案

【原题呈现】化简(a₁+a₂+…+a_n－1)(a₂+a₃+…+a_n－1+a_n)－(a₂+a₃+…+a_n－1)(a₁+a₂+…+a_n).

【解析】直接计算显然难度大，观察原式，发现式子中的每一项较多部分相同，所以可设a₂+a₃+…+a_n－1＝m，则：

原式=(a₁+m)(m+a_n)－m(m+a₁+a_n)

＝a₁m+ a₁a_n+m²+ ma_n－m²－a₁m－ma_n

＝a₁m＝a₁a₂+ a₁a₃+…+ a₁a_n－1.

---

---

特别推荐：

       数学科是“练”的科目，如果在学习中缺少练习或者练习量不够，达不到熟练程度，即便课堂上听得再清楚明白，也未必能在实际应用中运用自如，临场发挥也就不会正常、顺利，尤其是遇到带有“一定思维含量”的试题就不能随机应变。况且课堂上受教学时间和全班同学的能力差异影响，老师们无法对每一位学生“细致入微”地照顾，于是造成了众多的优秀生“吃不饱”的现象。

       为此，本公众号近期陆续推出相应章节知识的精选试题解析与同步对应练习解析（含详细解答过程），以弥补课堂教学时间和教学容量的限制，为优秀生提供更优质的阅读和训练机会，便于家长检测孩子掌握知识的情况，同时也为教师查阅相关知识的拓展和延伸资料提供方便。力求做到：所选的试题尽量与课时同步，又有适当的提升，当然更重视知识内容的实际演练。为了不花费孩子们更多的时间，每日只发布“一例一练”（个别小知识点除外），精析每一道题，为孩子、家长和老师提供方便。

扫描二维码，添加关注后，进入公众号，输入数字“1”可获得免费的《几何画板》使用实例视频教程（622分钟）的学习地址.

强调：本公众号对应的QQ群：178733124(课件制作学习交流群），正在火热进行中，每周两场现场直播！就算是“0”基础，也能把它学好，赶紧加入哦！