九上尖子生培优系列(48) ——圆的有关性质（10）

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【例题】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP：PB=1：5，求⊙O的半径．

【图文解析】本题是道基本题，解法多种，但又是一道非常典型的试题，其中的图形是一个常见的基本图，务必要快而准地得到正确答案，并能熟练地拓展变式运用。

       由“AB是直径”想到“直角（90⁰）”，由“弦CD⊥AB”想到垂径定理，由“AP：PB＝1：5”想到常用设元法（设AP＝m，PB＝5m），由此不难得到本题的常用解法。如下图示：

　得到最常见的图形——子母Rt△，有：

法一：“三次勾股”.如下图示，

       由AC²+BC²＝AB²可得：(m²+5²)+(m²+5²)= (m+5m) ²，解得m=根号5（负值舍去）.半径等于3×根号5.

法二：“垂径定理”，如下图示：

       在Rt△OCP中，由勾股定理，得(2m)²+5²= (3m) ²，解得m=根号5（负值舍去）.

       当然，如果学了相似和三角函数（人教版九下），就更方便了。如下：

法三：利用相似，不难证明△ACP≌△CBP（两角相等）

       从而PA：CP＝CP：PB，代入得：m:5＝5:(5m)，……

法四：利用三角函数的定义（其实与相似相同）

       不难证得：∠1＝∠2，分别在Rt△ACP和Rt△BCP中，由tan∠1＝…＝5/m，tan∠2＝…＝5m/5，得到：5/m＝5m/5，解得：…….

【反思】常见的题型，常见的思路和解法，务必熟练，尤其是用三角函数或相似的解更为精练。

【拓展变式】如图，AB是⊙O的直径，弦CD和AB交于点P，且∠CPB＝60⁰，CD=10，AP：PB=1：5，求⊙O的半径．

【上期答案】

【原题呈现】如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，AC、BD是⊙O的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，根号2），当AC∥x轴时，求四边形ABCD的面积．

解法提示：类似例题解析，根据垂径定理和勾股定理先求出AC的长，再进一步求出BD，得到四边形ABCD的面积为2×根号6.或者先得到例题的结论：

（m、n分别是O到AC和BD的距离，为根号3和根号2.）

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