八上尖子生培优系列（44） ——乘法公式（1）

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【例题】利用平方差公式计算：

（1）（3x﹣5）（3x+5）；

（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；

（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；

（4）（x﹣2）（x+2）（x²+4）．

【分析】注意平方差公式的结构特征：两多项的项数一样，之间同时只有相同的项和相反项的，等于相同项的平方与相反项的差.

【解答】（1）（3x﹣5）（3x+5）

                     =（3x）²﹣5²=9x²﹣25；

（2）（－2a﹣b）（b﹣2a）

       =（－2a）²﹣b²=4a²﹣b²；

（3）（－7m+8n）（－8n－7m）

       =（－7m）²－（8n）²=49m²﹣64n²；

（4）（x－2）（x+2）（x²+4）

       =（x²－4）（x²+4）=x⁴－16．

【反思】熟记公式结构是解题的关键．

【练习】利用平方差公式计算：

（1）(2m+3)(2m－3)；

（2）(－3x+y)(3x+y)；

（3）(－4m－3n)(3n－4m)；

（4）(a﹣2b)(a+2b)(a ²+4b ²)．

　（答案下期找）

培优系列（43）练习答案

【原题呈现】

阅读下文，寻找规律，并解答问题：

已知x≠1，计算：

(1﹣x) (1+x)=1﹣x²

(1﹣x) (1+x+x²)=1﹣x³

(1﹣x) (1+x+x²+x³)=1﹣x⁴

(1﹣x) (1+x+x²+x³+x⁴)=1﹣x⁵

              …

(1)观察上式猜想：

       (1﹣x) (1+x+x²+x³+…+xⁿ)=______.

(2)根据你的猜想计算：

       ①1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴

       ②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ．

【解析】

(1)由式子的规律，不难出：

       (1﹣x) (1+x+x²+x³+…+xⁿ)=1﹣xⁿ⁺¹

(2)①对比上式：1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴，2相当于x，由此得到启发，可将原式×(1－2)，

即(1－2)（1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴)＝1－2²⁰¹⁵，

所以1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁴

＝(1﹣2²⁰¹⁵)÷(1﹣2)=2²⁰¹⁵﹣1．

②类似地上述分析，

       2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ

＝1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ－1

＝－(1－2)×(1+2+2²+2³+…+2ⁿ)－1

＝－(1－2)×(1+2+2²+2³+…+2ⁿ)－1

＝－(1－2ⁿ⁺¹)－1＝2ⁿ⁺¹﹣2．

【反思】要认真观察发现所给式子的特点，善于利用阅读材料中所给的结论类似得到.

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