八上尖子生培优系列（45） ——乘法公式（2）

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【例题】记x=（1+2）（1+2²）（1+2⁴）（1+2⁸）…（1+2ⁿ），且x+1=2¹²⁸，则n=．

【分析】由于1＝1²=1⁴=……＝1²ⁿ，再根据所求的式子的特征，因此若在原式的前面添加因式（2﹣1），就可连续利用平方差公式计算求出x（化简原式），进一步可求出n值．

【解答】

原式=（2﹣1）（1+2）（1+2²）（1+2⁴）…（1+2ⁿ），

       =（2²﹣1）（1+2²）（1+2⁴）…（1+2ⁿ）

       ＝…，

       =（2ⁿ﹣1）（1+2ⁿ）=2²ⁿ﹣1，

∴x+1=2²ⁿ﹣1+1=2²ⁿ，2n=128，解得：n=64．

【反思】巧妙利用乘上一个因式（2－1）就可连续运用平方差公式进行巧算.

【练习】计算：(3+1)(3²+1)(3⁴+1)(3⁸+1)－0.5×3¹⁶=＿＿．

（答案下期找）

培优系列（44）练习答案

【原题呈现】利用平方差公式计算：

（1）(2m+3)(2m－3)；

（2）(－3x+y)(3x+y)；

（3）(－4m－3n)(3n－4m)；

（4）(a﹣2b)(a+2b)(a ²+4b ²)．

【解答】（1）原式=（2m）²﹣3²=4m²﹣9；

（2）原式=y²﹣(3x)²= y ²﹣9x ²；

（3）原式=(－4m)²－(3n)²=16m²﹣9n²；

（4）原式=(a²－4b²) (a²+4b²)=a⁴﹣16b². 

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