九上尖子生培优系列(55) ——与圆有关的位置关系(7)

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【例题】如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0（s）时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．

（1）当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？

（2）当t为何值时，△ABC的边AB所在的直线与半圆O所在的圆相切？

【图文解析】

由已知条件，不难得到：

（1）若△ABC的边AC与半圆O相切，则有下列两种情况，如下图示：

       当点E与点C重合时，AC与半圆O所在的圆相切，所求运动时间为t=2；当点D与点C重合时，AC与半圆O所在的圆相切，所求运动时间为t=14.

       综上，当t等于2s或14s时，AC与半圆O所在的圆相切．

（2）同样也有两种情况：

情形一：如下图示，过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8．

情形二：当点O运动到B点的右侧时，如下图示，此时OB=12cm，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm，即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．所求运动时间为：t=32÷1=32s.

       综上，当t等于8s或32s时，AB与半圆O所在的圆相切．

【反思】作出符合题意的图是解题的关键.

【练习】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的AC边与x轴重合，且点A在原点，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=2，又一直径为2的⊙D与x轴切于点E（1，0）.若Rt△ABC沿x轴正方向移动，当斜边AB与⊙D相切时，试写出此时点A的坐标.(答案下期找)

【上期答案】

【原题呈现】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以腰AB为直径作圆，已知AB=10，AD=m，BC=m+4，要使圆与折线BCDA有三个公共点（A、B两点除外），则m的取值范围是_____________．

【分析】依据“公共点的个数为3”可得到直线CD和圆相交；求m的范围时，先求出“临界”情况即相切时，圆心到直线的距离（设为d），然后再根据“直线和圆的位置关系”与“定量关系”，得到正确答案．即：若d＜r（r为圆的半径，下同），则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

【解】（认真观察动画演示）

       依题意，得圆必须和直线CD相交．设直线CD和圆相切于点E，连接OE，则OE⊥CD，则OE∥AD∥BC，又OA=OB，则ED=EC．OE=m+2，(可利用三角形的中位线定理，得证)则m+2=5，m=3，

       所以直线要和圆相交，则0＜m＜3．

       因此，符合条件的m的取值为0＜m＜3.

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