八上尖子生培优系列（51） ——因式分解（1）

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【例题】已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

【分析】根据因式分解的定义，分解后的左右两边必需相等。由于二次三项式x²﹣4x+m的二次项系数是1（次数为2），一个因式是（x+3）的一次项系数也是1（次数为1），因此另一因式的的一次项系数一定是1，而且一定是一次二项式。因此可设另一个因式为（x+n），则x²﹣4x+m=（x+3）（x+n）。再利用“待定系数法”，左右两边相等，从而可求得n的值和另一个因式.

【解答】设另一个因式为（x+n），得：

x²﹣4x+m=（x+3）（x+n），化简得：

x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n，

因此有

解得：n=﹣7，m=﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.

【反思】正确理解因式分解的概念和掌握多项式的乘法是解题的关键.

【练习】已知二次三项式2x²+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

（答案下期找）

培优系列（50）练习答案

【原题呈现】已知a=1/20x+20，b=1/20x+19，c=1/20x+21，求a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac的值.

【分析】由已知，不难得到：a﹣b=1，a﹣c=﹣1，b﹣c=﹣2.类似例题，可通过“2[(a²+b²+c²)﹣(ab+bc+ca)]＝(a﹣b)²+ (b﹣c)² +(a﹣c)²”进行转化.

【解】法一：a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac=a(a﹣b)+b(b﹣c)+c(c﹣a），

　　又由已知不难得到：a﹣b=1，a﹣c=﹣1，b﹣c=﹣2，代入上式，得：原式=a﹣2b+c，再将原已知条件a、b、c代入，得：原式=120x+20﹣2（1/20x+19）+1/20x+21=3．

法二：a²+b²+c²﹣ab﹣bc﹣ac=0.5(2a²+2b²+2c²﹣2ab﹣2bc﹣2ac)=0.5[（a²﹣2ab+b²）+（a²﹣2ac+c²）+（b²﹣2bc+c²）]=0.5 [（a﹣b）²+（a﹣c）²+（b﹣c）²]=0.5×（1+1+4）=3．

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