七上尖子生培优系列（58） ————几何图形初步（2）

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【例题】在直角三角形，两条直角边分别为6cm，8cm，斜边长为10cm，若分别以一边旋转一周.

（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是__________？

（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？

（3）如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？

【图文解析】

      预备知识（常用，务必熟练！！！）：如下图示，根据三角形面积公式，可得：S_△＝0.5×6×8＝0.5×10×h，解得h=4.8.

（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周，可得到，如下图示：

（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体，如下图示：

（3）如果绕着它的斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体分别如下图示：

      不难得到：绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为（两圆锥面积和）：

      绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为：

      因此绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．

【反思】一个简单图形绕一轴旋转所组成的图形，在计算相关量时（尤其是侧面积和体积相关的），关键要弄清旋转后形成的圆锥的底面的半径和高．

【练习】我们曾学过圆柱的体积计算公式：V=sh=πR²h（R是圆柱底面半径，h为圆柱的高），现有长方形，长为2cm，宽为1cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是多少？

（答案下期找）

七上培优系列(57)练习答案

【原题呈现】将一个正方体表面全部涂上颜色.如果把正方体的棱四等分，同样沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体，那么x₃=　　，x₂=　　，x_l=　　，x₀=　　；如果把正方体的棱n等分（n≥3），然后沿等分线把正方体切开，得到n³个小正方体，那么：x₃=　　，x₂=　　，x₁=　　，x₀=　　.

【解析】类似例题分析，根据图示可发现正方形8个定点处的小方块三面涂色；除顶点外位于棱上的小方块两面涂色（各两个），共12×2＝24个，涂色位于表面中心的一面涂色（各有2×2＝4个），共4×6＝24个，而处于正中心的则没涂色（共有2×2×2＝8个）．所以答案应为：x₃=8，x₂=24，x₁=24，x₀=8；

      由例题和上述问题，可以得到：如果把正方体的棱n等分（n≥3）时，三面涂色8，二面涂色12(n﹣2)，一面涂色6(n﹣2)²，各面均不涂色(n﹣2)³，即：x₃=8，x₂=12(n﹣2)，x₁6(n﹣2)²，x₀=(n﹣2)³.

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